Teilbarkeitsregeln

In diesem Kapitel schauen wir uns die Teilbarkeitsregeln an.

Benötigtes Vorwissen

Praktische Bedeutung

Die zentrale Frage in der Teilbarkeitslehre lautet: „Ist \(a\) durch \(t\) ohne Rest teilbar?“
Um diese Frage zur beantworten, müssen wir nicht immer schriftlich dividieren (\(a : t\)). Es gibt nämlich Regeln, die in vielen Fällen die Entscheidung über die Teilbarkeit einer Zahl erleichtern.

Die Regeln, die die Entscheidung über die Teilbarkeit erleichtern, heißen Teilbarkeitsregeln.

Teilbarkeitsregeln im Schulunterricht

Im Laufe deiner Schulzeit werden dir früher oder später folgende Teilbarkeitsregeln begegnen.

Hinweis: Durch Klick auf eine der fettgedruckten Zahlen (z. B. auf \(2 \mid a\)) in der Auflistung gelangst du zu einer Unterseite mit ausführlichen Beispielen zur jeweiligen Teilbarkeitsregel.

Zur Erinnerung: \(2 \mid a\) lesen wir als „2 teilt a“.

\(2 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine durch \(2\) teilbare Zahl darstellt
(d. h. wenn die letzte Ziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\) ist)
\(3 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(3\) teilbar ist
\(4 \mid a\) wenn die letzten zwei Ziffern eine durch \(4\) teilbare Zahl bilden
\(5 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine durch \(5\) teilbare Zahl darstellt
\(6 \mid a\) wenn die Zahl durch \(2\) und \(3\) teilbar ist
\(7 \mid a\) (Für die Zahl \(7\) gibt es keine einfache Teilbarkeitsregel!)
\(8 \mid a\) wenn die letzten drei Ziffern eine durch \(8\) teilbare Zahl bilden
\(9 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(9\) teilbar ist
\(10 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine \(0\) ist

Sonderfälle

\(0 \nmid a\) Keine natürliche Zahl ist durch \(0\) teilbar.
\(1 \mid a\) Jede natürliche Zahl ist durch \(1\) teilbar.
\(a \mid a\) Jede natürliche Zahl (außer die Null) ist durch sich selbst teilbar.

Teilbarkeitsregeln thematisch sortiert

Vielleicht ist dir bereits aufgefallen, dass sich manche Teilbarkeitsregeln ähneln. Wenn du weißt, welche Regeln miteinander verwandt sind, kann dir das bei ihrem Einprägen helfen.

Hinweis: Durch Klick auf eine der fettgedruckten Zahlen (z. B. auf \(2 \mid a\)) in der Auflistung gelangst du zu einer Unterseite mit ausführlichen Beispielen zur jeweiligen Teilbarkeitsregel.

1. Endziffernregeln

Benötiges Vorwissen: Potenzen

a) Zweier-Potenzen

\(2 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine durch \(2\) teilbare Zahl darstellt
\(4 \mid a\) wenn die letzten zwei Ziffern eine durch \(4\) teilbare Zahl bilden
\(8 \mid a\) wenn die letzten drei Ziffern eine durch \(8\) teilbare Zahl bilden
\(16 \mid a\) wenn die letzten vier Ziffern eine durch \(16\) teilbare Zahl bilden
\(2^n \mid a\) wenn die letzten \(n\) Ziffern eine durch \(2^n\) teilbare Zahl bilden

b) Fünfer-Potenzen

\(5 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine durch \(5\) teilbare Zahl darstellt
\(25 \mid a\) wenn die letzten zwei Ziffern eine durch \(25\) teilbare Zahl bilden
\(125 \mid a\) wenn die letzten drei Ziffern eine durch \(125\) teilbare Zahl bilden
\(625 \mid a\) wenn die letzten vier Ziffern eine durch \(625\) teilbare Zahl bilden
\(5^n \mid a\) wenn die letzten \(n\) Ziffern eine durch \(5^n\) teilbare Zahl bilden

c) Zehner-Potenzen

\(10 \mid a\) wenn die letzte Ziffer eine \(0\) ist
\(100 \mid a\) wenn die letzten zwei Ziffern jeweils \(0\) sind
\(1000 \mid a\) wenn die letzten drei Ziffern jeweils \(0\) sind
\(10000 \mid a\) wenn die letzten vier Ziffern jeweils \(0\) sind
\(10^n \mid a\) wenn die letzten \(n\) Ziffern jeweils \(0\) sind

2. Quersummenregeln

a) Basierend auf (nichtalternierenden) Quersummen

Benötiges Vorwissen: Quersumme

\(3 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(3\) teilbar ist
\(9 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(9\) teilbar ist

b) Basierend auf alternierenden Quersummen *

Benötiges Vorwissen: Alternierende Quersumme + Alternierende \(k\)-Quersumme

\(7 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(7\) teilbar ist
\(11 \mid a\) wenn die alternierende Quersumme durch \(11\) teilbar ist
\(13 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(13\) teilbar ist

* Quersummenregeln, die auf alternierenden Quersummen basieren, werden nur selten in der Schule behandelt. Nur der Vollständigkeit halber habe ich einige dieser Regeln hier erwähnt.

3. Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln

\(6 \mid a\) wenn \(a\) durch \(2\) und \(3\) teilbar ist
\(12 \mid a\) wenn \(a\) durch \(3\) und \(4\) teilbar ist
\(14 \mid a\) wenn \(a\) durch \(2\) und \(7\) teilbar ist
\(15 \mid a\) wenn \(a\) durch \(3\) und \(5\) teilbar ist
\(18 \mid a\) wenn \(a\) durch \(2\) und \(9\) teilbar ist
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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