Logarithmus­gesetze

In diesem Kapitel schauen wir uns die Logarithmusgesetze an.

Erforderliches Vorwissen

Grundlagen 

$$ \log_b b = 1 $$

In Worten: Der Logarithmus zur Basis ist immer $1$ (wegen $b^1 = b$).

$$ \log_b 1 = 0 $$

In Worten: Der Logarithmus zu $1$ ist immer $0$ (wegen $b^0 = 1$).

Rechnen mit Logarithmen 

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Gesetze:

Produktregel 

$$ \log_b(P \cdot Q) = \log_b P + \log_b Q $$

In Worten: Der Logarithmus eines Produktes entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.

Beispiel 1 

$$ \log_2({\color{RedOrange}4} \cdot {\color{RoyalBlue}8}) = \log_2 {\color{RedOrange}4} + \log_2 {\color{RoyalBlue}8} = 2 + 3 = 5 $$

Beispiel 2 

$$ \log_3({\color{RedOrange}9} \cdot {\color{RoyalBlue}81}) = \log_3 {\color{RedOrange}9} + \log_3 {\color{RoyalBlue}81} = 2 + 4 = 6 $$

Beispiel 3 

$$ \log_5({\color{RedOrange}5} \cdot {\color{RoyalBlue}25}) = \log_5 {\color{RedOrange}5} + \log_5 {\color{RoyalBlue}25} = 1 + 2 = 3 $$

Quotientenregel 

$$ \log_b\left(\frac{P}{Q}\right) = \log_b P - \log_b Q $$

In Worten: Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmuses des Nenners.

Beispiel 4 

$$ \log_4\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}16}}\right) = \log_4 {\color{RedOrange}1} - \log_4 {\color{RoyalBlue}16} = 0 - 2 = -2 $$

Beispiel 5 

$$ \log_6\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}216}}\right) = \log_6 {\color{RedOrange}1} - \log_6 {\color{RoyalBlue}216} = 0 - 3 = -3 $$

Beispiel 6 

$$ \log_2\left(\frac{{\color{RedOrange}32}}{{\color{RoyalBlue}1024}}\right) = \log_2 {\color{RedOrange}32} - \log_2 {\color{RoyalBlue}1024} = 5 - 10 = -5 $$

Potenzregel 1 

$$ \log_b P^n = n \cdot \log_b P $$

In Worten: Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis der Potenz.

Beispiel 7 

$$ \log_3 81^{\color{red}4} = {\color{red}4} \cdot \log_3 81 = 4 \cdot 4 = 16 $$

Beispiel 8 

$$ \log_7 7^{\color{red}2} = {\color{red}2} \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 $$

Beispiel 9 

$$ \log_2 1024^{\color{red}3} = {\color{red}3} \cdot \log_2 1024 = 3 \cdot 10 = 30 $$

Potenzregel 2 

$$ \log_b \sqrt[n]{P} = \frac{\log_b P}{n} $$

In Worten: Der Logarithmus einer Wurzel entspricht dem Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten.

Beispiel 10 

$$ \log_5 \sqrt[{\color{red}5}]{125} = \frac{\log_5 125}{{\color{red}5}} = \frac{3}{5} $$

Beispiel 11 

$$ \log_3 \sqrt[{\color{red}2}]{9} = \frac{\log_3 9}{{\color{red}2}} = \frac{2}{2} = 1 $$

Beispiel 12 

$$ \log_6 \sqrt[{\color{red}6}]{216} = \frac{\log_6 216}{{\color{red}6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Zur Potenzregel 2

Mithilfe der Potenzgesetze können wir eine Wurzel als Potenz schreiben:

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$

Mit diesem Wissen verstehen wir den Zusammenhang zwischen den beiden Potenzregeln:

$$ \log_5 \sqrt[5]{125} = \log_5 125^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \log_5 125 = \frac{\log_5 125}{5} = \frac{3}{5} $$

Basiswechsel 

$$ \log_a P = \frac{\log_b P}{\log_b a} $$

In Worten: Der Logarithmus zu einer Basis $a$ lässt sich folgendermaßen zu einem Logarithmus zur Basis $b$ umformen.

Beispiel 13 

Gegeben ist der Logarithmus

$$ \log_2 8 $$

Dessen Basis wollen wir zur Basis 4 umformen. Es gilt

$$ \log_2 8 = \frac{\log_4 8}{\log_4 2} $$

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