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Logarithmusgesetze

In diesem Kapitel schauen wir uns die Logarithmusgesetze an.

Notwendiges Vorwissen: Logarithmus

Es lohnt sich, wenn man sich folgende Zusammenhänge merkt:

  • \(\log_b b = 1\): Der Logarithmus zur Basis ist immer 1 (wegen \(b^1 = b\)).
  • \(\log_b 1 = 0\): Der Logarithmus zu 1 ist immer 0 (wegen \(b^0 = 1\)).

Beim Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Gesetze:

Produktregel

Der Logarithmus eines Produktes entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.

\(\log_b(P \cdot Q) = \log_b P + \log_b Q\)

\(\log_2({\color{RedOrange}4} \cdot {\color{RoyalBlue}8}) = \log_2 {\color{RedOrange}4} + \log_2 {\color{RoyalBlue}8} = 2 + 3 = 5\)

\(\log_3({\color{RedOrange}9} \cdot {\color{RoyalBlue}81}) = \log_3 {\color{RedOrange}9} + \log_3 {\color{RoyalBlue}81} = 2 + 4 = 6\)

\(\log_5({\color{RedOrange}5} \cdot {\color{RoyalBlue}25}) = \log_5 {\color{RedOrange}5} + \log_5 {\color{RoyalBlue}25} = 1 + 2 = 3\)

Quotientenregel

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmuses des Nenners.

\[\log_b\left(\frac{P}{Q}\right) = \log_b P - \log_b Q\]

\[\log_4\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}16}}\right) = \log_4 {\color{RedOrange}1} - \log_4 {\color{RoyalBlue}16} = 0 - 2 = -2\]

\[\log_6\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}216}}\right) = \log_6 {\color{RedOrange}1} - \log_6 {\color{RoyalBlue}216} = 0 - 3 = -3\]

\[\log_2\left(\frac{{\color{RedOrange}32}}{{\color{RoyalBlue}1024}}\right) = \log_2 {\color{RedOrange}32} - \log_2 {\color{RoyalBlue}1024} = 5 - 10 = -5\]

Potenzregel 1

Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis der Potenz.

\(\log_b P^n = n \cdot \log_b P\)

\(\log_3 81^{\color{red}4} = {\color{red}4} \cdot \log_3 81 = 4 \cdot 4 = 16\)

\(\log_7 7^{\color{red}2} = {\color{red}2} \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2\)

\(\log_2 1024^{\color{red}3} = {\color{red}3} \cdot \log_2 1024 = 3 \cdot 10 = 30\)

Potenzregel 2

Der Logarithmus einer Wurzel entspricht dem Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten.

\[\log_b \sqrt[n]{P} = \frac{\log_b P}{n}\]

\[\log_5 \sqrt[{\color{red}5}]{125} = \frac{\log_5 125}{{\color{red}5}} = \frac{3}{5}\]

\[\log_3 \sqrt[{\color{red}2}]{9} = \frac{\log_3 9}{{\color{red}2}} = \frac{2}{2} = 1\]

\[\log_6 \sqrt[{\color{red}6}]{216} = \frac{\log_6 216}{{\color{red}6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Zur "Potenzregel 2":
Mit Hilfe der Potenzgesetze können wir eine Wurzel als Potenz schreiben.

Es gilt: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)

Mit diesem Wissen verstehen wir den Zusammenhang zwischen den beiden Potenzregeln:

\[\log_5 \sqrt[5]{125} = \log_5 125^{\frac{1}{5}} =  \frac{1}{5} \cdot \log_5 125 = \frac{\log_5 125}{5} = \frac{3}{5}\]

Basiswechsel

Der Logarithmus zu einer Basis \(a\) lässt sich folgendermaßen zu einem Logarithmus zur Basis \(b\) umformen

\[\log_a P = \frac{\log_b P}{\log_b a}\]

Beispiel

Gegeben ist der Logarithmus

\(\log_2 8\)

Dessen Basis wollen wir zur Basis 4 umformen. Es gilt

\[\log_2 8 = \frac{\log_4 8}{\log_4 2}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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