Wurzelgesetze

In diesem Kapitel schauen wir uns die Wurzelgesetze an.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Als Wurzelgesetze bezeichnet man die Rechenregeln für Wurzeln.

Zunächst wiederholen wir einige wichtige Bezeichnungen:

  • \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel (sprich: n-te Wurzel von a)
  • \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
  • \(a\): Radikand
  • \(n\): Wurzelexponent

Besondere Wurzeln

  • \(\sqrt[1]{a} = a\)
  • \(\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\): Die zweite Wurzel heißt „Quadratwurzel“ oder einfach nur „Wurzel“.
                         Der Wurzelexponent wird hierbei üblicherweise weggelassen.
  • \(\sqrt[3]{a}\): Die dritte Wurzel heißt „Kubikwurzel“.

Wurzelgesetze im Überblick

Wurzeln addieren

\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]

Voraussetzung:
- gleicher Radikand
- gleicher Wurzelexponent

 

\[3{\color{green}\sqrt{2}} + 4{\color{green}\sqrt{2}} = (3 + 4){\color{green}\sqrt{2}} = 7{\color{green}\sqrt{2}}\]

\[2{\color{green}\sqrt[3]{5}} + 6{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (2 + 6){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 8{\color{green}\sqrt[3]{5}}\]

\[5{\color{green}\sqrt[4]{3}} + {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 + 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 6{\color{green}\sqrt[4]{3}}\]

Wurzeln subtrahieren

\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]

Voraussetzung:
- gleicher Radikand
- gleicher Wurzelexponent

 

\[4{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (4 - 3){\color{green}\sqrt{2}} = {\color{green}\sqrt{2}}\]

\[7{\color{green}\sqrt[3]{5}} - 2{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (7 - 2){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 5{\color{green}\sqrt[3]{5}}\]

\[5{\color{green}\sqrt[4]{3}} - {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 - 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 4{\color{green}\sqrt[4]{3}}\]

Wurzeln multiplizieren

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

Voraussetzung:
- gleicher Wurzelexponent*
- \(a \cdot b \geq 0\)

 

\[\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 2}\]

\[\sqrt[{\color{green}3}]{2} \cdot \sqrt[{\color{green}3}]{4} = \sqrt[{\color{green}3}]{2 \cdot 4}\]

\[\sqrt[{\color{green}4}]{5} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{3} = \sqrt[{\color{green}4}]{5 \cdot 3}\]

Wurzeln dividieren

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

Voraussetzung:
- gleicher Wurzelexponent*

\[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}}\]

\[\frac{\sqrt[{\color{green}4}]{32}}{\sqrt[{\color{green}4}]{2}} = \sqrt[{\color{green}4}]{\frac{32}{2}}\]

\[\frac{\sqrt[{\color{green}3}]{2}}{\sqrt[{\color{green}3}]{4}} = \sqrt[{\color{green}3}]{\frac{2}{4}}\]

Wurzeln potenzieren

\[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]

 

\[(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3}\]

\[(\sqrt[3]{4})^5 = \sqrt[3]{4^5}\]

\[(\sqrt[4]{5})^6 = \sqrt[4]{5^6}\]

Wurzeln radizieren

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]

 

\[\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16}\]

\[\sqrt[3]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5}\]

\[\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[4 \cdot 5]{6} = \sqrt[20]{6}\]

* falls die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, muss man die Wurzeln gleichnamig machen, um eine Multiplikation oder Division zu ermöglichen.

Wurzeln in Potenzen umformen

Die Wurzelrechnung ist mit der Potenzrechnung sehr eng verwandt.
Wurzeln lassen sich deshalb ohne Probleme in Potenzen umformen.

\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}}\)

\(\sqrt[5]{9} = 9^{\frac{1}{5}}\)

\(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

\(\sqrt[3]{6^9} = 6^{\frac{9}{3}}\)

\(\sqrt[4]{7^{10}} = 7^{\frac{10}{4}}\)

\(\sqrt[5]{8^{11}} = 8^{\frac{11}{5}}\)

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden.
Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

PS: Die Wurzelgesetze lassen sich auf die Potenzgesetze zurückführen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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