Wurzelgesetze

In diesem Kapitel schauen wir uns die Wurzelgesetze an.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Die Rechenregeln für Wurzeln heißen Wurzelgesetze.

Bezeichnungen

  • $\sqrt[n]{a}$: Wurzel (sprich: n-te Wurzel von a)
  • $\sqrt{\phantom{2}}$: Wurzelzeichen
  • $a$: Radikand
  • $n$: Wurzelexponent

Besondere Wurzeln

  • $\sqrt[1]{a} = a$
  • $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$: Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel oder einfach nur Wurzel. Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln üblicherweise weggelassen.
  • $\sqrt[3]{a}$: Die dritte Wurzel heißt Kubikwurzel.

Wurzelgesetze im Überblick 

Wurzeln addieren

$$ a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}} $$

Voraussetzung

  • Gleicher Radikand
  • Gleicher Wurzelexponent

Beispiel 1 

$$ 3{\color{green}\sqrt{2}} + 4{\color{green}\sqrt{2}} = (3 + 4){\color{green}\sqrt{2}} = 7{\color{green}\sqrt{2}} $$

Beispiel 2 

$$ 2{\color{green}\sqrt[3]{5}} + 6{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (2 + 6){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 8{\color{green}\sqrt[3]{5}} $$

Beispiel 3 

$$ 5{\color{green}\sqrt[4]{3}} + {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 + 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 6{\color{green}\sqrt[4]{3}} $$

Wurzeln subtrahieren

$$a {\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}} $$

Voraussetzung

  • Gleicher Radikand
  • Gleicher Wurzelexponent

Beispiel 4 

$$ 4{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (4 - 3){\color{green}\sqrt{2}} = {\color{green}\sqrt{2}} $$

Beispiel 5 

$$ 7{\color{green}\sqrt[3]{5}} - 2{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (7 - 2){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 5{\color{green}\sqrt[3]{5}} $$

Beispiel 6 

$$ 5{\color{green}\sqrt[4]{3}} - {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 - 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 4{\color{green}\sqrt[4]{3}} $$

Wurzeln multiplizieren

$$ \sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b} $$

Voraussetzung

  • Gleicher Wurzelexponent*
  • $a \cdot b \geq 0$

Beispiel 7 

$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 2} $$

Beispiel 8 

$$ \sqrt[{\color{green}3}]{2} \cdot \sqrt[{\color{green}3}]{4} = \sqrt[{\color{green}3}]{2 \cdot 4} $$

Beispiel 9 

$$ \sqrt[{\color{green}4}]{5} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{3} = \sqrt[{\color{green}4}]{5 \cdot 3} $$

Wurzeln dividieren

$$ \frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}} $$

Voraussetzung

  • Gleicher Wurzelexponent*

Beispiel 10 

$$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}} $$

Beispiel 11 

$$ \frac{\sqrt[{\color{green}4}]{32}}{\sqrt[{\color{green}4}]{2}} = \sqrt[{\color{green}4}]{\frac{32}{2}} $$

Beispiel 12 

$$ \frac{\sqrt[{\color{green}3}]{2}}{\sqrt[{\color{green}3}]{4}} = \sqrt[{\color{green}3}]{\frac{2}{4}} $$

Wurzeln potenzieren

$$ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $$

Beispiel 13 

$$ (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3} $$

Beispiel 14 

$$ (\sqrt[3]{4})^5 = \sqrt[3]{4^5} $$

Beispiel 15 

$$ (\sqrt[4]{5})^6 = \sqrt[4]{5^6} $$

Wurzeln radizieren

$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$

Beispiel 16 

$$ \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16} $$

Beispiel 17 

$$ \sqrt[3]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5} $$

Beispiel 18 

$$ \sqrt[4]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[4 \cdot 5]{6} = \sqrt[20]{6} $$

* Falls die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, muss man die Wurzeln gleichnamig machen, um eine Multiplikation oder Division zu ermöglichen.

Wurzeln in Potenzen umformen 

Die Wurzelrechnung ist mit der Potenzrechnung eng verwandt. Wurzeln lassen sich deshalb ohne Probleme in Potenzen umformen.

$$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $$

Beispiel 19 

$$ \sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} $$

Beispiel 20 

$$ \sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} $$

Beispiel 21 

$$ \sqrt[5]{9} = 9^{\frac{1}{5}} $$

$$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $$

Beispiel 22 

$$ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} $$

Beispiel 23 

$$ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $$

Beispiel 24 

$$ \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $$

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

Beispiel 25 

$$ \sqrt[3]{6^9} = 6^{\frac{9}{3}} $$

Beispiel 26 

$$ \sqrt[4]{7^{10}} = 7^{\frac{10}{4}} $$

Beispiel 27 

$$ \sqrt[5]{8^{11}} = 8^{\frac{11}{5}} $$

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

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