Potenzen
In diesem Kapitel schauen wir uns Potenzen etwas genauer an.
Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.
\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]
Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).
[Manchmal sagt man zur Basis auch Grundzahl und zum Exponenten Hochzahl.]
Beispiele
\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]
\[3 \cdot 3 = 3^2\]
\[4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\]
Potenzen und ihre Exponenten
Potenzen haben in Abhängigkeit ihres Exponenten eine unterschiedliche Bedeutung.
Dabei gilt es folgende Fälle zu unterscheiden:
- Der Exponent ist eine natürliche Zahl, z.B. \(2^3\)
- Der Exponent ist eine ganze Zahl, z.B. \(2^{-3}\)
- Der Exponent ist eine rationale Zahl, z.B. \(2^{\frac{1}{4}}\)
1. Potenzen mit natürlichem Exponenten
\[x^n = x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n\]
Beispiele
\[2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\]
\[3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\]
2. Potenzen mit ganzem Exponenten
\[x^{-n} = \frac{1}{x^n}\]
Beispiele
\[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}\]
\[3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243}\]
3. Potenzen mit rationalem Exponenten
\[x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\]
Beispiele
\[3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3}\]
\[3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\]
\[x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\]
Beispiele
\[2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4}\]
\[2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5}\]
\[x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\]
Beispiele
\[2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}\]
\[2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}}\]
Mehr zur Potenzrechnung
Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Potenzgesetze | Alle Potenzgesetze im Überblick! |
| Potenzen addieren | \(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\) |
| Potenzen subtrahieren | \(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\) |
| Potenzen multiplizieren |
|
| Potenzen dividieren |
|
| Potenzen potenzieren | \(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\) |
Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider