Potenzen

In diesem Kapitel schauen wir uns Potenzen etwas genauer an.

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).
[Manchmal sagt man zur Basis auch Grundzahl und zum Exponenten Hochzahl.]

Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

\[4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\]

Potenzen und ihre Exponenten

Potenzen haben in Abhängigkeit ihres Exponenten eine unterschiedliche Bedeutung.

Dabei gilt es folgende Fälle zu unterscheiden:

Der Exponent ist eine natürliche Zahl, z.B. \(2^3\)
Der Exponent ist eine ganze Zahl, z.B. \(2^{-3}\)
Der Exponent ist eine rationale Zahl, z.B. \(2^{\frac{1}{4}}\)

1. Potenzen mit natürlichem Exponenten

\[x^n = x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n\]

Beispiele

\[2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\]

\[3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\]

2. Potenzen mit ganzem Exponenten

\[x^{-n} = \frac{1}{x^n}\]

Beispiele

\[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}\]

\[3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243}\]

3. Potenzen mit rationalem Exponenten

\[x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\]

Beispiele

\[3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3}\]

\[3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\]

\[x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\]

Beispiele

\[2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4}\]

\[2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5}\]

\[x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\]

Beispiele

\[2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}\]

\[2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}}\]

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze	Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren	\(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren	\(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren	gleiche Basis \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\) gleicher Exponent \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren	gleiche Basis \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\) gleicher Exponent \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren	\(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

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