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Potenzen potenzieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Potenzieren von Potenzen.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Potenzen zu lesen.

Was ist eine Potenz? (Wiederholung)

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

Konkrete Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

Allgemeines Beispiel

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

\[\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\]

Beispiele

\[\left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8\]

\[\left(4^4\right)^4 = 4^{4 \cdot 4} = 4^{16}\]

\[\left(2^3\right)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6}\]

\[\left(7^{-4}\right)^{-3} = 7^{(-4) \cdot (-3)} = 7^{12}\]

Ist die Basis der Potenz negativ, fällt das negative Vorzeichen manchmal weg:

  • Der obere Exponent ist gerade
    \(\Rightarrow\) Negatives Vorzeichen fällt weg ("minus mal minus ergibt plus")

\[\left(-5^3\right)^{{\color{green}2}} = (-5^{3}) \cdot (-5^{3}) = 5^{3 \cdot 2} = 5^6\]

  • Der obere Exponent ist ungerade
    \(\Rightarrow\) Negatives Vorzeichen fällt nicht weg

\[\left(-5^3\right)^{{\color{red}3}} = (-5^{3}) \cdot (-5^{3}) \cdot (-5^{3}) =  -5^{3 \cdot 3} = -5^9\]

Wir haben gesehen, dass das Potenzieren von Potenzen gar nicht schwer ist. Entscheidend ist jedoch, die entsprechenden Vorzeichen zu beachten. Mit ein wenig Übung sollte dir auch das keine Schwierigkeiten mehr bereiten.

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren \(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren \(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren
  • gleiche Basis
    \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren
  • gleiche Basis
    \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren \(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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