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pq-Formel

In diesem Kapitel lernen wir die pq-Formel kennen.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform.

Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in Normalform:

Normalform
Reinquadratisch ohne Absolutglied$x^2 = 0$
Reinquadratisch mit Absolutglied$x^2 + q = 0$
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied$x^2 + px = 0$
Gemischtquadratisch mit Absolutglied$x^2 + px + q = 0$

Grundsätzlich können wir die pq-Formel auf alle vier Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung allerdings nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren.

Formel 

Quadratische Gleichung in Normalform

$$ x^2 + px + q = 0 $$

pq-Formel

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$

Fallunterscheidung

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$

$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$

Anleitung 

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

Lösungen berechnen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 1)

Fehlerquelle

Dass $-2x^2 + 8x - 12 = 0$ nicht in Normalform vorliegt, sieht jeder.

Dass $-x^2 + 4x - 6 = 0$ nicht in Normalform vorliegt, wird aber gern übersehen. Wir müssen hier nämlich durch $-1$ dividieren, um das negative Vorzeichen von $x^2$ loszuwerden. Die Normalform von $-x^2 + 4x - 6 = 0$ ist $x^2 - 4x + 6 = 0$. Wir erinnern uns: Bei Division durch eine negative Zahl drehen sich alle Vorzeichen um.

zu 2)

Beim Herauslesen von $p$ und $q$ kommt es häufig zu Fehlern.

Die folgende Tabelle zeigt für jede Gleichungsart ein Beispiel:

Reinquadratisch ohne Absolutglied$x^2 = 0$
$p = 0$ und $q = 0$
Reinquadratisch mit Absolutglied$x^2 - 4 = 0$
$p = 0$ und $q = -4$
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied$x^2 - 4x = 0$
$p = -4$ und $q = 0$
Gemischtquadratisch mit Absolutglied$x^2 - x + 5 = 0$
$p = -1$ und $q = 5$

Regeln

  • Wenn das lineare Glied fehlt, gilt $p = 0$.
  • Wenn das absolute Glied fehlt, gilt $q = 0$.
  • Wenn das $x$ allein steht, gilt $p = 1$ (wegen $1 \cdot x = x$).
    Vorzeichen beachten: $-x$ führt zu $p = -1$.

zu 4)

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von ${\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}$, erkennen. Dieser Term heißt Diskriminante.

Beispiele 

Beispiel 1 

Löse die quadratische Gleichung

$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$p = -4$ und $q = 3$

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$1$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q > 0$...}} \\[5px] &= 2 \pm 1 \end{align*} $$

Fallunterscheidung

$$ x_1 = 2 - 1 = 1 $$

$$ x_2 = 2 + 1 = 3 $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es zwei Lösungen!}} $$

Beispiel 2 

Löse die quadratische Gleichung

$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$p = -4$ und $q = 4$

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-4} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-4} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$0$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q = 0$...}} \\[5px] &= 2 \pm 0 \\[5px] &= 2 \end{align*} $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{2\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es eine Lösung!}} $$

Beispiel 3 

Löse die quadratische Gleichung

$$ x^2 - 4x + 7= 0 $$

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$p = -4$ und $q = 7$

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$-3$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q < 0$...}} \end{align*} $$

$\Rightarrow$ Es gibt keine reellen Lösungen, weil in der Menge der reellen Zahlen das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es keine Lösung!}} $$

Anmerkung

Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Herleitung 

Beispiel 4 

Löse die quadratische Gleichung

$$ x^2 + px + q = 0 $$

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor.

Absolutglied auf die rechte Seite bringen

$$ \begin{align*} x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|\, -q} \\[5px] x^2 + px &= -q \end{align*} $$

Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.

$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + px {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q \end{align*} $$

Binomische Formel anwenden

$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] \left({\color{red}x + \frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{align*} $$

Wurzel ziehen

$$ \begin{align*} \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{align*} $$

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ \begin{align*} x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} &&{\color{gray}\left|\,-\frac{p}{2}\right.} \end{align*} $$

pq-Formel

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q} $$

Online-Rechner 

Quadratische Gleichungen online berechnen

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