pq-Formel

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von \({\fcolorbox{yellow}{}{\(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)}}\), erkennen.

Anleitung für das Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform mithilfe der pq-Formel:

Sonderfälle

Wenn die quadratische Gleichung „anders aussieht“ (Schülerzitat) als in den obigen Beispielen, kommt es oft zu Fehlern beim Herauslesen von \(p\) und \(q\). Hier alle Sonderfälle im Überblick:

Regeln

• Wenn das lineare Glied fehlt, gilt \(p = 0\).
• Wenn das absolute Glied fehlt, gilt \(q = 0\).
• Wenn das \(x\) allein steht, gilt \(p = 1\) (wegen \(1 \cdot x = x\)).
  Vorzeichen beachten: \(-x\) führt zu \(p = -1\).

Fehlerquelle

Ich wiederhole mich: Die pq-Formel gilt nur für quadratische Gleichungen in Normalform!

Dass \(-2x^2 + 8x - 12 = 0\) nicht in Normalform vorliegt, sieht jeder.
Dass \(-x^2 + 4x - 6 = 0\) nicht in Normalform vorliegt, wird aber gern übersehen.
(Wir müssen hier durch \(-1\) dividieren, um das negative Vorzeichen von \(x^2\) loszuwerden.)
Die Normalform von \(-x^2 + 4x - 6 = 0\) ist \(x^2 - 4x + 6 = 0\).
(Bei Division durch eine negative Zahl drehen sich alle Vorzeichen um.)

Herleitung der pq-Formel

Notwendiges Vorwissen: Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in Normalform \(x^2 + px + q = 0\).

1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor.

2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|-q} \\[5px]
x^2 + px &= -q
\end{align*}\)

3) Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + px {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q
\end{align*}\)

4) Binomische Formel anwenden

\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
\left({\color{red}x + \frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\end{align*}\)

5) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\end{align*}\)

6) Lösungen berechnen

\(\begin{align*}
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} &&{\color{gray}|-\frac{p}{2}}
\end{align*}\)