pq-Formel
In diesem Artikel lernst du, wie man quadratische Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel löst. Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man unter quadratischen Gleichungen überhaupt versteht.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet
\(ax^2 + bx + c = 0\)
Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der sog. "Normalform" vorliegen:
\(x^2 + px + q = 0\)
Normalform bedeutet, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist. Die Normalform erhält man, indem man die Gleichung durch den Koeffizienten vor dem \(x^2\) (also durch \(a\)) teilt.
Die pq-Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform lautet
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
pq-Formel - Beispiel
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({\color{red}{2}}x^2 - 4x - 16 = 0\)
Bevor wir die pq-Formel auf unser Beispiel anwenden können, müssen wir die Gleichung normieren, d.h. in die Normalform bringen. Dazu teilen wir die Gleichung durch den Koeffizienten, der vor \(x^2\) steht - in diesem Fall also durch 2.
\({\color{red}{2}}x^2 - 4x - 16 = 0 \quad |:{\color{red}{2}}\)
\(x^2 - 2x - 8 = 0\)
Nun liegt die Gleichung in Normalform vor und wir können die pq-Formel anwenden.
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Allgemein \(x^2 + {\colorbox{orange}{\(p\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(q\)}} = 0\) |
\[x_{1,2} = -\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2}\right)^2-{\colorbox{goldenrod}{\(q\)}}}\] |
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Beispiel \(x^2 {\colorbox{orange}{\(-2\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-8\)}} = 0\) |
\[x_{1,2} = -\frac{{\colorbox{orange}{\(-2\)}}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\colorbox{orange}{\(-2\)}}}{2}\right)^2-{\colorbox{goldenrod}{\(-8\)}}} = 1 \pm 3\] Jetzt lösen wir noch das \(\pm\)-Zeichen (Plus-Minus-Zeichen) auf. Demzufolge gibt es zwei Lösungen: |
Diskriminante einer quadratischen Gleichung
Der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel (gelb markiert) heißt "Diskriminante der quadratischen Gleichung" und macht eine Aussage über die Lösbarkeit der Gleichung.
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)}}}\]
Die Diskriminante \(D\) ist
\[D = {\colorbox{yellow}{\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)}}\]
- gilt \(D > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen \(x_1\) und \(x_2\)
- gilt \(D = 0\), gibt es eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2)
- gilt \(D < 0\), existiert keine reelle Lösung
Zu jedem dieser drei Lösungsfälle schauen wir uns im nächsten Abschnitt ein Beispiel an.
pq-Formel: Mögliche Lösungen
1. Zwei verschiedene reelle Lösungen
\({\color{red}{2}}x^2 - 8x + 6 = 0 \quad |:{\color{red}{2}}\)
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{4-3}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D > 0\)}}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm 1\]
\(x_1 = 2 - 1 = 1\)
\(x_2 = 2 + 1 = 3\)
Es gibt zwei Lösungen:
\(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\)
2. Eine reelle Lösung
\({\color{red}{2}}x^2 - 8x + 8 = 0 \quad |:{\color{red}{2}}\)
\(x^2 - 4x + 4 = 0\)
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{(-2)^2-4}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{4-4}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(0\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D = 0\)}}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm 0\]
\(x_1 = 2 - 0 = 2\)
\(x_2 = 2 + 0 = 2\)
Es gibt eine Lösungen:
\(x = 2\)
3. Keine Lösung
\({\color{red}{2}}x^2 - 8x + 14 = 0 \quad |:{\color{red}{2}}\)
\(x^2 - 4x + 7= 0\)
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{4-7}\]
\[\phantom{x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(-3\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D < 0\)}}\]
Die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert!
Daraus folgt: \(\mathbb{L} = \{\}\)
Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) ist in diesem Fall leer.
Vergleich: pq-Formel vs. Mitternachtsformel
| Gleichung | Formel |
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\(x^2 + {\colorbox{orange}{\(p\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(q\)}} = 0\) |
\[x_{1,2} = -\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2}\right)^2-{\colorbox{goldenrod}{\(q\)}}}\] |
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\({\colorbox{Apricot}{\(a\)}}x^2 + {\colorbox{orange}{\(b\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(c\)}} = 0\) |
\[x_{1,2} = \frac{-{\colorbox{orange}{\(b\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\(b\)}}^2 - 4{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}{\colorbox{goldenrod}{\(c\)}}}}{2{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}}\] |
Neben der pq-Formel kann man noch mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta quadratische Gleichungen lösen. Wie das funktioniert, erfährst du in anderen Kapiteln.
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider