pq-Formel

In diesem Kapitel lernen wir die pq-Formel kennen.

Benötigtes Vorwissen

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform (!).

Kontext

Es gibt vier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen in Normalform:

Reinquadratisch ohne Absolutglied \(x^2 = 0\)
Reinquadratisch mit Absolutglied \(x^2 + q = 0\)
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied \(x^2 + px = 0\)
Gemischtquadratisch mit Absolutglied \(x^2 + px + q = 0\)

Grundsätzlich können wir die pq-Formel auf alle vier Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung allerdings nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren (\(\rightarrow\) Quadratische Gleichungen lösen).

Quadratische Gleichung in Normalform

\(x^2 + px + q = 0\)

pq-Formel

\(x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)}}}\)

Fallunterscheidung

\(x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)

\(x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von \({\fcolorbox{yellow}{}{\(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)}}\), erkennen.

Anleitung für das Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel:

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

    2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -4\) und \(q = 3\)

    3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(1\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q > 0\)...}} \\[5px]
    &= 2 \pm 1
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 2 - 1 = 1\)

    \(x_2 = 2 + 1 = 3\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1; 3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es zwei Lösungen!}}\)

  • \(x^2 - 4x + 4 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

    2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -4\) und \(q = 4\)

    3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-4} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{4-4} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(0\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q = 0\)...}} \\[5px]
    &= 2 \pm 0 \\[5px]
    &= 2
    \end{align*}\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{2\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es eine Lösung!}}\)

  • \(x^2 - 4x + 7= 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

    2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen


    \(p = -4\) und \(q = 7\)

    3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(-3\)}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q < 0\)...}}
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow\) In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert. Aus diesem Grund gibt es keine (reellen) Lösungen!

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es keine Lösung!}}\)

    Anmerkung:
    Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Sonderfälle

Wenn die quadratische Gleichung „anders aussieht“ (Schülerzitat) als in den obigen Beispielen, kommt es oft zu Fehlern beim Herauslesen von \(p\) und \(q\). Hier alle Sonderfälle im Überblick:

Reinquadratisch
ohne Absolutglied
\(x^2 = 0\)
\(p = 0\) und \(q = 0\)
Reinquadratisch
mit Absolutglied
\(x^2 - 4 = 0\)
\(p = 0\) und \(q = -4\)
Gemischtquadratisch
ohne Absolutglied
\(x^2 - 4x = 0\)
\(p = -4\) und \(q = 0\)
Gemischtquadratisch
mit Absolutglied
\(x^2 - x + 5 = 0\)
\(p = -1\) und \(q = 5\)

Regeln

  • Wenn das lineare Glied fehlt, gilt \(p = 0\).
  • Wenn das absolute Glied fehlt, gilt \(q = 0\).
  • Wenn das \(x\) allein steht, gilt \(p = 1\) (wegen \(1 \cdot x = x\)).
    Vorzeichen beachten: \(-x\) führt zu \(p = -1\).

Fehlerquelle

Ich wiederhole mich: Die pq-Formel gilt nur für quadratische Gleichungen in Normalform!

Dass \(-2x^2 + 8x - 12 = 0\) nicht in Normalform vorliegt, sieht jeder.
Dass \(-x^2 + 4x - 6 = 0\) nicht in Normalform vorliegt, wird aber gern übersehen.
(Wir müssen hier durch \(-1\) dividieren, um das negative Vorzeichen von \(x^2\) loszuwerden.)
Die Normalform von \(-x^2 + 4x - 6 = 0\) ist \(x^2 - 4x + 6 = 0\).
(Bei Division durch eine negative Zahl drehen sich alle Vorzeichen um.)

Herleitung der pq-Formel

Notwendiges Vorwissen: Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in Normalform \(x^2 + px + q = 0\).

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor.

2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|-q} \\[5px]
x^2 + px &= -q
\end{align*}\)

3) Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + px {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q
\end{align*}\)

4) Binomische Formel anwenden

\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
\left({\color{red}x + \frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\end{align*}\)

5) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\end{align*}\)

6) Gleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} &&{\color{gray}|-\frac{p}{2}}
\end{align*}\)

pq-Formel

\(x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Ausblick

  • Der Fachbegriff für den Term unter der Wurzel in der pq-Formel \({\fcolorbox{yellow}{}{\(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)}}\) ist Diskriminante. Wie in den Beispielen angedeutet (siehe Hinweise in gelb), macht die Diskriminante eine Aussage über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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