Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Gleichungen sind.

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme,
die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("\(=\)") symbolisiert wird.

Beispiel einer Gleichung

\(T_1 = T_2\)

Dabei sind \(T_1\) und \(T_2\) beliebige Terme.

  • den Term \(T_1\) nennt man auch die linke Seite der Gleichung
  • den Term \(T_2\) nennt man auch die rechte Seite der Gleichung

Gleichungen sind entweder wahr (z.B. \(5 = 5\)) oder falsch (z.B. \(5=6\)).

An Stelle von wahr sagt man auch erfüllt.

Wie kann man sich eine Gleichung bildlich vorstellen?

Eine Gleichung ist eine Waage.

Wenn die Gleichung wahr ist, befindet sich die Waage im Gleichgewicht.
\(5 = 5\) bedeutet, dass sich in beiden Waagschalen 5 Kilo befinden.

Wenn die Gleichung falsch ist, befindet sich die Waage im Ungleichgewicht.
\(5 = 6\) bedeutet, dass in der rechten Waagschale ein Kilo mehr ist als in der linken Waagschale.

Gleichungen mit Variablen

Die Betrachtung von Gleichungen, in denen nur Zahlen vorkommen, wird schnell langweilig:

\(1 = 1\)

\(5 = 5\)

\(-2 = -2\)

...

Interessant wird es erst, wenn wir eine Variable einführen:

\(5 + x = 10\)

In der obigen Gleichung ist der Kleinbuchstabe \(x\) die Variable. Manchmal spricht man auch von einer "Unbekannten". Eine Variable ist nichts anderes als ein Platzhalter für eine Zahl.

Wir könnten zum Beispiel für \(x\) die Zahlen 1 und 5 einsetzen.

  • \(x = 1\):
    \(5 + 1 = 10 \quad \rightarrow 6 = 10\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 1 ein, trifft die Gleichung eine falsche Aussage.

  • \(x = 5\):
    \(5 + 5 = 10 \quad \rightarrow 10 = 10\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 5 ein, trifft die Gleichung eine wahre Aussage.

Bei Gleichungen mit Variablen hängt es von dem konkret eingesetzten Wert ab, ob die Gleichung wahr oder falsch ist.

In den meisten Aufgaben wirst du auf die Variable \(x\) stoßen. Manchmal werden jedoch auch andere (Klein-)Buchstaben für Variablen verwendet.

Die Gleichungen \(5 + x = 10\) und \(5 + a = 10\) haben folglich die gleiche Bedeutung.

Gleichungen lösen

Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.

\(5 + x = 10\)

ist vor allem derjenige \(x\)-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt ist.

Wie oben bereits gezeigt, ist die Gleichung für \(x = 5\) erfüllt.

Der \(x\)-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.

In unserem Beispiel ist 5 also die Lösung der Gleichung. Falls wir nämlich diesen Wert für \(x\) einsetzen, ergibt sich eine wahre Aussage:

\(5 + 5 = 10 \quad \rightarrow 10 = 10\)

Wenn du eine "Gleichung lösen" sollst, geht es letztlich um die Frage:
"Welche Zahl muss ich für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist?"
Die Antwort auf diese Frage ist dann, wie bereits erwähnt, die Lösung der Gleichung.

Gleichungen im Überblick

Im Laufe deiner Schulzeit (oder später in Ausbildung, Studium oder Beruf) wirst du es mit verschiedenen Gleichungen zu tun haben. Um nicht den Überblick zu verlieren, unterteilt man Gleichungen nach ihrem "Aussehen":

Bezeichnung Beispiel
Lineare Gleichungen \(2x + 4 = 0\)
Quadratische Gleichungen \(5x^2 + 2x + 2 = 0\)
Kubische Gleichungen \(4x^3 + 6x^2 + 2x + 5 = 0\)
Bruchgleichungen \(\frac{2+x}{x-1} = 3\)
Wurzelgleichungen \(\sqrt{5x - 4} = 8\)
Exponentialgleichungen \(5^{1+x} = 4^{x}\)
Logarithmusgleichungen \(\log_{2}x = 4\)

Bei der in diesem Artikel besprochenen Gleichung

\(5 + x = 10\)

handelt es sich übrigens um eine lineare Gleichung. Diese haben wir durch Probieren (d.h. willkürliches Einsetzen von Werten) quasi zufällig gelöst. Für alle erwähnten Gleichungen gibt es jedoch auch spezielle Lösungsverfahren. Dadurch sparen wir uns das Einsetzen von Werten und berechnen in kurzer Zeit direkt die Lösung der Gleichung.

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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