Betragsgleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Betragsgleichungen löst.

Notwendiges Vorwissen: Betrag

Definition des Betrags

\(\begin{equation*}
|a| =
\begin{cases}
a&\text{für \(a \geq 0\)} \\
-a&\text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Beispiel

\(|5| = 5\)

\(|-5| = -(-5) = 5\)

Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.

Betragsgleichungen rechnerisch lösen

Im Folgenden schauen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man Betragsgleichungen löst.
Betragsgleichungen lassen sich durch Fallunterscheidung oder durch Quadrieren lösen.

Das Quadrieren hat den Nachteil, dass man dadurch meist die Gleichung verkompliziert und somit der Lösungsweg länger wird. Die Standardmethode ist deshalb die Fallunterscheidung.

a) Fallunterscheidung

Vorgehensweise

  1. Betrag auflösen durch Fallunterscheidung
  2. Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
  3. Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen

zu 1.)

Aus der Definition des Betrags

\(\begin{equation*}
|a| =
\begin{cases}
a&\text{für \(a \geq 0\)} \\
-a&\text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

ergeben sich folgende zwei Fälle:

Wenn der Term im Betrag größer oder gleich Null ist (\(a \geq 0\)),
können wir den Term einfach ohne Betragsstriche schreiben (\(|a| = a\)).

Wenn der Term im Betrag kleiner als Null ist \(a < 0\),
müssen wir die Vorzeichen des Terms umdrehen,
um die Betragsstriche weglassen zu können (\(|a| = -a\)).

zu 3.)

Die Lösung der Gleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.

Beispiel

\(|x + 1| = 3\)

1.) Betrag auflösen durch Fallunterscheidung

Aus der Definition des Betrags ergibt sich

\(\begin{equation*}
|x + 1| =
\begin{cases}
x + 1 &\text{für \({\color{green}x + 1 \geq 0}\)} \\
-(x + 1) &\text{für \({\color{red}x + 1 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach \(x\) auf, um zu berechnen, für welches \(x\) der Term im Betrag größer oder gleich Null (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.

1. Fall: \(x + 1 \geq 0\)

\(\begin{align*}
x + 1 &\geq 0 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &\geq -1
\end{align*}\)

2. Fall: \(x + 1 < 0\)

\(\begin{align*}
x + 1 &< 0 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &< -1
\end{align*}\)

Zusammenfassend gilt:

\(\begin{equation*}
|x + 1| =
\begin{cases}
x + 1 &\text{für \({\color{green}x \geq -1}\)} \\
-(x + 1) &\text{für \({\color{red}x < -1}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

2.) Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Fall 1: \(x \geq -1\)

Für \(x \geq -1\) können wir Gleichung \(|x + 1| = 3\) umschreiben zu

\(x + 1 = 3\)

Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach \(x\) auflösen:

\(x + 1 {\color{gray}\:-\:1} = 3 {\color{gray}\:-\:1}\)

\(x = 2\)

Zur Lösungsmenge \(\mathbb{L}_1\) gehört alles, was die folgenden Bedingungen erfüllt:
\(x \geq -1\) (1. Fall)
\(x = 2\) (Lösung 1. Fall)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_1 = \{2\}\).

Fall 2: \(x < -1\)

Für \(x < -1\) können wir Gleichung \(|x + 1| = 3\) umschreiben zu

\(-(x + 1) = 3\)

Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach \(x\) auflösen:

\(-x - 1 = 3\)

\(-x - 1 {\color{gray}\:+\:1} = 3 {\color{gray}\:+\:1}\)

\(-x = 4\)

\(-x {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} = 4 {\color{gray}\:\cdot\:(-1)}\)

\(x = -4\)

Zur Lösungsmenge \(\mathbb{L}_2\) gehört alles, was die folgenden Bedingungen erfüllt:
\(x < -1\) (2. Fall)
\(x = -4\) (Lösung 2. Fall)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_2 = \{-4\}\).

3.) Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen

\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{2\} \cup \{-4\} = \{-4;2\}\)

b) Quadrieren

Vorgehensweise

  1. Gleichung quadrieren
  2. Gleichung lösen

zu 1.)

Durch Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: \(|a|^2 = a^2\).

Beispiel

\(|x + 1| = 3\)

1.) Gleichung quadrieren

\(\begin{align*}
|x + 1| &= 3 &&{\color{gray}| \phantom{x}^2}\\[5pt]
|x + 1|^2 &= 3^2\\[5pt]
(x+1)^2 &= 3^2\\[5pt]
x^2 + 2x + 1 &= 9
\end{align*}\)

2.) Gleichung lösen

Bei \(x^2 + 2x + 1 = 9\) handelt es sich um eine quadratische Gleichung.

Wir bringen die Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form

\(\begin{align*}
x^2 + 2x + 1 &= 9 &&{\color{gray}| -9}\\[5pt]
x^2 + 2x - 8 &= 0
\end{align*}\)

und lösen diese dann mit Hilfe einer Lösungsformel, z. B. mit der pq-Formel.

Die Lösungen sind: \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\).

\(\Rightarrow \mathbb{L} = \{-4;2\}\)

Betragsgleichungen graphisch lösen

Die Betragsgleichung \(|x + 1| = 3\), die wir im obigen Abschnitt rechnerisch gelöst haben, können wir auch graphisch lösen. Dazu interpretieren wir die linke und die rechte Seite der Gleichung als Funktionen. Deren Funktionsgraphen zeichnen wir in ein Koordinatensystem.
Die (x-Werte der) Schnittpunkte der beiden Graphen bilden die Lösungsmenge.

Zunächst zeichnen wir die linke Seite der Gleichung ohne Betragsstriche ein.

\(f(x) = x+1\) ist eine lineare Funktion.

Den Graphen der Betragsfunktion \(|f(x)| = |x+1|\) erhält man, indem man alles, was unterhalb der x-Achse liegt (gestrichelte Linie) an der x-Achse spiegelt.

Bei der rechten Seite der Gleichung (\(g(x) = 3\)) handelt es sich um eine konstante Funktion. Diese wurde in rot eingezeichnet.

Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen bilden die Lösungsmenge.

In unserem Beispiel gilt: \(\mathbb{L} = \{-4;2\}\)

Betragsgleichungen mit mehreren Beträgen

Beispiel 1

\(|x+3| + |x+4| - 9 = 0\)

Es handelt es um eine Betragsgleichung mit zwei Beträgen.

Wir lösen die Gleichung durch Fallunterscheidung.

1.) Betrag auflösen durch Fallunterscheidung

Zunächst lösen wir den ersten Betrag auf:

\(\begin{equation*}
|x+3| + |x+4| - 9 =
\begin{cases}
x+3 + |x+4| - 9 &\text{für \({\color{green}x + 3 \geq 0}\)} \\
-(x+3) + |x+4| - 9 &\text{für \({\color{red}x + 3 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach \(x\) auf, um zu berechnen,
für welches \(x\) der Term im Betrag größer oder gleich Null bzw. kleiner Null ist:

\(\begin{equation*}
|x+3| + |x+4| - 9 =
\begin{cases}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} &\text{für \({\color{green}x \geq -3}\quad\)}{\color{orange}\text{Fall 1}} \\
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} &\text{für \({\color{red}x < -3\quad}\)}{\color{orange}\text{Fall 2}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Da noch ein Betrag übrig ist, müssen wir beide Fälle noch einmal unterteilen:

\({\color{orange}\text{Fall 1}}\)

\(\begin{equation*}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
x+3 + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x+4 \geq 0}\)} \\
x+3 -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x+4 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wir lösen die Bedingungen nach \(x\) auf

\(\begin{equation*}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
x+3 + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x \geq -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} \\
x+3 -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x < -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 1b}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\({\color{orange}\text{Fall 2}}\)

\(\begin{equation*}
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
-(x+3) + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x+4 \geq 0}\)} \\
-(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x+4 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wir lösen die Bedingungen nach \(x\) auf

\(\begin{equation*}
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
-(x+3) + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x \geq -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} \\
-(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x < -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 2b}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

2.) Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

\({\color{#ff8000}\text{Fall 1a}}\)

Für \({\color{green}x \geq -3}\) (Fall 1) und \({\color{green}x \geq -4}\) (Fall 1a) gilt:

\(\begin{align*}
x+3 + x+4 - 9 &= 0\\[5pt]
2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|+2}\\[5pt]
2x &= 2 &&{\color{gray}|:2}\\[5pt]
x &= 1
\end{align*}\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_{1a}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x \geq -3\) (Fall 1)
\(x \geq -4\) (Fall 1a)
\(x = 1\) (Lösung Fall 1a)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{1a} = \{1\}\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 1b}}\)

Für \({\color{green}x \geq -3}\) (Fall 1) und \({\color{red}x < -4}\) (Fall 1b) gilt:

\(\begin{align*}
x+3 -(x+4) - 9 &= 0\\[5pt]
x + 3 - x - 4 - 9 &= 0\\[5pt]
-10 &=0 &&{\color{red}\text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{1b} = \{\}\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 2a}}\)

Für \({\color{red}x < -3}\) (Fall 2) und \({\color{green}x \geq -4}\) (Fall 2a) gilt:

\(\begin{align*}
-(x+3) + x+4 - 9 &= 0\\[5pt]
-x - 3 + x + 4 - 9 &= 0\\[5pt]
-8 = 0 &&{\color{red}\text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{2a} = \{\}\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 2b}}\)

Für \({\color{red}x < -3}\) (Fall 2) und \({\color{red}x < -4}\) (Fall 2b) gilt:

\(\begin{align*}
-(x+3) -(x+4) - 9 &= 0\\[5pt]
-x - 3 -x - 4 - 9 &= 0\\[5pt]
-2x - 16 &= 0 &&{\color{gray}|+16}\\[5pt]
-2x &= 16 &&{\color{gray}|:(-2)}\\[5pt]
x &= -8
\end{align*}\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_{2b}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x < -3\) (Fall 2)
\(x < -4\) (Fall 2b)
\(x = -8\) (Lösung Fall 2b)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{2b} = \{-8\}\)

3.) Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen

\(\begin{align*}
\mathbb{L}
&= \mathbb{L}_{1a} \; \cup \; \mathbb{L}_{1b} \; \cup \; \mathbb{L}_{2a} \; \cup \; \mathbb{L}_{2b}\\[5pt]
&= \{1\} \;\cup\; \{\} \cup \{\} \;\cup\; \{-8\}\\[5pt]
&= \{-8;1\}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(|x-1|=|x-3|\)

Es handelt es um eine Betragsgleichung mit zwei Beträgen.

In diesem Fall ist es einfacher die Gleichung zu quadrieren:

1.) Gleichung quadrieren

\(\begin{align*}
|x-1| &= |x-3| &&{\color{gray}| \phantom{x}^2}\\[5pt]
|x-1|^2 &= |x-3|^2\\[5pt]
x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9
\end{align*}\)

2.) Gleichung lösen

Wir bringen die Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form

\(\begin{align*}
x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9 &&{\color{gray}| -x^2+6x-9}\\[5pt]
4x - 8 &= 0
\end{align*}\)

Bei \(4x - 8 = 0\) handelt es sich um eine lineare Gleichung.

\(\begin{align*}
4x - 8 &= 0 &&{\color{gray}| +8}\\[5pt]
4x &= 8 &&{\color{gray}| :4}\\[5pt]
x &= 2
\end{align*}\)

\(\Rightarrow \mathbb{L} = \{2\}\)

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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