Intervalle
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Intervalle sind.
Ein Intervall ist eine abkürzende Schreibweise,
um eine Teilmenge der Zahlengeraden auszudrücken.
Beispiel
Gesucht ist eine Zahl \(x\), für die gilt: \(4 \leq x \leq 7\).
Statt \(4 \leq x \leq 7\) kann man abkürzend schreiben: \([4;7]\).
Das Intervall \([4;7]\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von 4 bis 7.
Die eckigen Klammern zeigen an, dass die beiden Intervallgrenzen zum Intervall gehören.
Zum Intervall gehören also z. B.:
\(4\); \(4,01\); \(4,5\); \(5,89\); \(6,2\) und \(7\).
Nicht zum Intervall gehören z. B.:
\(-3\); \(0\); \(1,3\); \(3,99\); \(7,01\) und \(12\).
Im Folgenden unterscheiden wir zwischen endlichen und unendlichen Intervallen:
Endliche Intervalle haben eine endliche Länge. Als Länge des Intervalls bezeichnet man
die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze des Intervalls.
Beispiel
Das Intervall \([4;7]\) hat eine Länge von (\(7 - 4 =\)) \(3\).
Im Gegensatz dazu sind unendliche Intervalle unendlich lang.
Bei unendlichen Intervallen ist eine Intervallgrenze entweder \(-\infty\) oder \(+\infty\).
Endliche Intervalle
[Alternative Bezeichnungen: Beschränkte Intervalle, Eigentliche Intervalle]
Das Intervall \({\color{green}[4};{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis (eingeschlossen) 7.
Vorsicht Verwechslungsgefahr!
- \([a,b]\) beschreibt ein Intervall,
d. h. den ganzen Zahlenbereich von \(a\) bis \(b\) (beide Grenzen eingeschlossen). - \(\{a,b\}\) beschreibt eine Menge,
die nur die beiden Zahlen \(a\) und \(b\) enthält, nicht aber die Zahlen dazwischen!
Beispiel
Das Lösungsintervall der quadratischen Ungleichung \(x^2 - 4 \leq 0\) ist \(-2 \leq x \leq 2\).
\(\Rightarrow \mathbb{L} = [-2;2]\)
Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4 = 0\) ist \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).
\(\Rightarrow \mathbb{L} = \{-2;2\}\)
Die Intervallschreibweise richtet sich danach, ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören.
Das Intervall \({\color{red}]4};{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis (ausgeschlossen) 7.
Das Intervall \({\color{green}[4};{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis (ausgeschlossen) 7.
Das Intervall \({\color{red}]4};{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis (eingeschlossen) 7.
Es gibt zwei verschiedene Intervallschreibweisen.
Dabei werden die Intervallgrenzen folgendermaßen gekennzeichnet:
- Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: gewendete eckige Klammern - Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern
Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle endlichen Intervalle.
| Schreibweise (I) | Schreibweise (II) | Mengenschreibweise | Typ |
| \({\color{green}[a},{\color{green}b]}\) | \({\color{green}[a},{\color{green}b]}\) | \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{green}\:\leq b}\}\) | geschlossen |
| \({\color{red}]a},{\color{red}b[}\) | \({\color{red}(a},{\color{red}b)}\) | \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{red}\:< b}\}\) | offen |
| \({\color{green}[a},{\color{red}b[}\) | \({\color{green}[a},{\color{red}b)}\) | \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{red}\:< b}\}\) | halboffen / rechtsoffen |
| \({\color{red}]a},{\color{green}b]}\) | \({\color{red}(a},{\color{green}b]}\) | \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{green}\:\leq b}\}\) | halboffen / linksoffen |
Merke
Endliche Intervalle heißen endlich, weil sie eine endliche Länge (\(b - a\)) haben.
Zwischen den Intervallgrenzen \(a\) und \(b\) liegen dennoch unendlich viele reelle Zahlen!
Unendliche Intervalle
[Alternative Bezeichnungen: Unbeschränkte Intervalle, Uneigentliche Intervalle]
Das Intervall \({\color{green}[4};\infty[\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis unendlich*.
Das Intervall \({\color{red}]4};\infty[\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis unendlich*.
Das Intervall \(]-\infty;{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (eingeschlossen) 7.
Das Intervall \(]-\infty;{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (ausgeschlossen) 7.
* \(\infty\) ("unendlich") und \(-\infty\) ("minus unendlich") gehören selbst nie zum Intervall.
Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle unendlichen Intervalle.
| Schreibweise (I) | Schreibweise (II) | Mengenschreibweise | Typ |
| \({\color{green}[a},\infty[\) | \({\color{green}[a},\infty)\) | \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x\}\) | rechtsseitig unendlich geschlossen |
| \({\color{red}]a},\infty[\) | \({\color{red}(a},\infty)\) | \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x\}\) | rechtsseitig unendlich offen |
| \(]-\infty,{\color{green}b]}\) | \((-\infty,{\color{green}b]}\) | \(\{x \:|\: x {\color{green}\:\leq b}\}\) | linksseitig unendlich geschlossen |
| \(]-\infty,{\color{red}b[}\) | \((-\infty,{\color{red}b)}\) | \(\{x \:|\: x {\color{red}\:< b}\}\) | linksseitig unendlich offen |
| \(]-\infty,\infty[\) | \((-\infty,\infty)\) | \(\mathbb{R}\) | beidseitig unendlich offen und geschlossen |
Bei dem letzten Intervall handelt es sich um einen Spezialfall:
Das Intervall \(]-\infty,\infty[\) beschreibt die ganze Zahlengerade, also ganz \(\mathbb{R}\).
Mehr zum Thema Ungleichungen
Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.
| Beispiel | |
| Lineare Ungleichungen (mit einer Variablen) |
\(10x - 8 \leq 3x + 4\) |
| Lineare Ungleichungssysteme (mit einer Variablen) |
\[\begin{align*} 2x - 4 &< 6 \\ 3x + 5 &> 2 \end{align*}\] |
| Lineare Ungleichungen (mit zwei Variablen) |
\(5x - 3y > 10\) |
| Lineare Ungleichungssysteme (mit zwei Variablen) |
\[\begin{align*} 2x + y &\leq 12 \\ 2x + 3y &\leq 18 \end{align*}\] |
| Quadratische Ungleichungen | \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\) |
| Bruchungleichungen | \(\frac{1}{x +1} > 7\) |
| Betragsungleichungen | \(|x + 1| < 3\) |
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Andreas Schneider