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Mengenschreibweise

In diesem Kapitel schauen wir uns die Mengenschreibweise an.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Wiederholung: Menge

Unter einer Menge versteht man in der Mathematik jede Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit.

Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.

Im Wesentlichen gibt es zwei Möglichkeiten, um Mengen mathematisch aufzuschreiben:

  • aufzählende Mengenschreibweise
  • beschreibende Mengenschreibweise

Diese beiden Schreibweisen werden im Folgenden ausführlich dargestellt.

Aufzählende Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Schreibweise werden die Elemente zwischen geschweiften Klammern gesetzt und durch Kommas oder Semikolons getrennt.

Schreibweise mit Komma: M = {Element 1, Element 2, ...}
Schreibweise mit Semikolon: M = {Element 1; Element 2; ...}

Beispiele:
\(A = \{1,2,3\}\)         - Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\)
\(B = \{-7; 0,5; 4\}\) - Menge der Zahlen \(-7\) sowie \(0,5\) und \(4\)

Die aufzählende Schreibweise besitzt zwei interessante Eigenschaften:

1. Eigenschaft

Die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, spielt keine Rolle.

Beispiele:
\(\{2,3,1\} = \{1,2,3\}\)
\(\{4;-7;0,5\} = \{-7;0,5;4\}\)

2. Eigenschaft

Das mehrfache Aufschreiben eines Elements ist gleichbedeutend mit dem einfachen Aufschreiben.

Beispiele:
\(\{1,1,1,2,3,3\} = \{1,2,3\}\)
\(\{-7;0,5;0,5;4\} = \{-7;0,5;4\}\)

Diese beiden Eigenschaften gelten deshalb, weil zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist und umgekehrt. Die Reihenfolge und die Anzahl der Elemente sind für die Gleichheit von Mengen dagegen unerheblich.

Beschreibende Mengenschreibweise

Bei der beschreibenden Schreibweise werden die Elemente durch die Angabe von charakterisierenden Eigenschaften beschrieben.

Schreibweise: M = {\(x~|~x\) besitzt die Eigenschaften \(E_1,~E_2,...,~E_n\)}

  • Die Eigenschaft kann in natürlicher Sprache formuliert werden.

Beispiel:
\(A = \{x~|~x \text{ ist ein Bundesstaat der USA}\}\)
gesprochen:
\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A}_\text{A} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x} \quad
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:} \quad
\underbrace{\vphantom{\vert} x \text{ ist ist ein Bundesstaat der USA}}_\text{x ist ein Bundesstaat der USA} \quad
\}
\)

  • Die Eigenschaft kann in mathematischer Form formuliert werden.

Beispiel:
\(A = \{x~|~-5 < x < 3\}\)
gesprochen:
\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A}_\text{A} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller} \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x} \quad
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:} \quad
\underbrace{\vphantom{\vert} - 5 < x < 3}_\text{x ist größer als -5 und kleiner als 3} \quad
\}
\)

Welche Schreibweise ist besser?

Diese Frage lässt sich leider nicht eindeutig beantworten. Welche Mengenschreibweise man im konkreten Fall verwendet, hängt von der jeweiligen Aufgabenstellung ab.

Als Praxistipp lässt sich aber Folgendes sagen:

  • Handelt es sich um eine endliche Menge mit wenigen Elementen, eignet sich die aufzählende Mengenschreibweise besser.
  • Handelt es sich um eine endliche Menge mit sehr vielen Elementen oder um eine unendliche Menge, eignet sich die beschreibende Mengenschreibweise besser.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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