Gleichheit von Mengen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann eine Gleichheit von Mengen vorliegt.

Erforderliches Vorwissen

Definition I 

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Beispiel 1 

Untersuche, in welcher Beziehung $$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ und $$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ zueinander stehen.

Beobachtung
$A$ und $B$ sind gleich.

Schreibweise
$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A = B} $$

Sprechweise
A gleich B

Abb. 1 / Gleichheit von Mengen 

In mathematischer Schreibweise sieht diese Definition etwas komplizierter aus.

Definition II 

$$ A = B \,\Leftrightarrow\, \forall x \, (x \in A \Leftrightarrow x \in B) $$

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A = B}_\text{A gleich B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\forall x}_\text{für alle x gilt:}~~ ( \underbrace{\vphantom{\big \vert}x \in A \Leftrightarrow x \in B}_\text{x ist genau dann Element von A, wenn es Element von B ist und umgekehrt}~~ ) $$

Definition III 

Mengengleichheit wird auch häufig über eine Teilmengenbeziehung definiert:

$$ A = B \,\Leftrightarrow\, A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A = B}_\text{A gleich B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}B \subseteq A}_\text{B ist Teilmenge von A} $$

Mengengleichheit in der Praxis 

Im Zusammenhang mit der Gleichheit von Mengen spielen folgende Eigenschaften eine Rolle:

1. Eigenschaft

Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge ist beliebig.

Beispiel 2 

$$ \{2, 3, 1\} = \{1, 2, 3\} $$

2. Eigenschaft

Die Anzahl der Nennungen eines Elements in einer Menge ist beliebig.

Um Schreibarbeit zu sparen, gewöhnen wir uns an, jedes Element nur einmal aufzuzählen.

Beispiel 3 

$$ \{1, 1, 1, 2, 3, 3\} = \{1, 2, 3\} $$

Anmerkung zur 2. Eigenschaft
Manche Mathematiker sind sehr streng und deshalb der Ansicht, dass die Mehrfachnennung eines Element aufgrund der Definition einer Menge (Zusammenfassung von verschiedenen Objekten) verboten ist.

Zusammenfassung

Wir können nur eine Aussage darüber treffen, ob ein Element in einer Menge enthalten ist oder nicht. In welcher Reihenfolge und wie oft ein Element vorkommt, können wir nicht sagen. (Genau zu diesem Zweck haben Mathematiker die sog. Tupel eingeführt!)

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