Gleichheit von Mengen

In diesem Kapitel schauen wir uns, wann eine Gleichheit von Mengen vorliegt.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Wiederholung

Bei der Betrachtung von Mengen interessieren wir uns oftmals dafür, wie diese sich zueinander verhalten. Die Frage ist also: In welcher Beziehung stehen \(A\) und \(B\) zueinander?

Mengenbeziehungen

  • \(A\) und \(B\) sind gleich
  • \(A\) ist in \(B\) enthalten (oder: \(B\) ist in \(A\) enthalten)
  • \(A\) überdeckt \(B\) teilweise
  • \(A\) und \(B\) sind voneinander verschieden

Im Folgenden schauen wir uns ein Beispiel für die Gleichheit von Mengen an:

Beispiel

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Beobachtung
\(A\) und \(B\) sind gleich.

Schreibweise
\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A = B}\)

Sprechweise
A gleich B

Wir merken uns:

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

In mathematischer Schreibweise sieht diese Definition etwas komplizierter aus.

Definition der Gleichheit von Mengen (I)

\(A = B \,\Leftrightarrow\, \forall x \, (x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

\(\underbrace{\vphantom{\big \vert}A = B}_\text{A gleich B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\forall x}_\text{für alle x gilt:}~~
\)


\(
(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x \in A \Leftrightarrow x \in B}_\text{x ist genau dann Element von A, wenn es Element von B ist und umgekehrt}~~
)
\)

Definition der Gleichheit von Mengen (II)

Mengengleichheit wird auch häufig über eine Teilmengenbeziehung definiert:

\(A = B \,\Leftrightarrow\, A \subseteq B \wedge B \subseteq A\)

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

\(\underbrace{\vphantom{\big \vert}A = B}_\text{A gleich B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}B \subseteq A}_\text{B ist Teilmenge von A}
\)

Mengengleichheit in der Praxis

Im Zusammenhang mit der Gleichheit von Mengen spielen folgende Eigenschaften eine Rolle:

1. Eigenschaft

Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge ist beliebig.

Beispiel

\(\{2,3,1\} = \{1,2,3\} \)

2. Eigenschaft

Die Anzahl der Nennungen eines Elements in einer Menge ist beliebig.

Um Schreibarbeit zu sparen, gewöhnen wir uns an, jedes Element nur einmal aufzuzählen.

Beispiel

\(\{1,1,1,2,3,3\} = \{1,2,3\}\)

Zusammenfassung

Wir können nur eine Aussage darüber treffen, ob ein Element in einer Menge enthalten ist oder nicht. In welcher Reihenfolge und wie oft ein Element vorkommt, können wir nicht sagen.
(Genau zu diesem Zweck haben Mathematiker die sog. Tupel eingeführt!)

Anmerkung zur 2. Eigenschaft

Manche Mathematiker sind sehr streng und deshalb der Ansicht, dass die Mehrfachnennung eines Element aufgrund der Definition einer Menge („Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einer Gesamtheit“) verboten ist.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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