Teilmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Teilmenge ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Wiederholung

Bei der Betrachtung von Mengen interessieren wir uns oftmals dafür, wie diese sich zueinander verhalten. Die Frage ist also: In welcher Beziehung stehen \(A\) und \(B\) zueinander?

Mengenbeziehungen

  • \(A\) und \(B\) sind gleich
  • \(A\) ist in \(B\) enthalten (oder: \(B\) ist in \(A\) enthalten)
  • \(A\) überdeckt \(B\) teilweise
  • \(A\) und \(B\) sind voneinander verschieden

Im Folgenden schauen wir uns zwei Beispiele für den Fall an, dass \(A\) in \(B\) enthalten ist:

Beispiel 1

\(A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Beobachtung
\(A\) ist in \(B\) enthalten.

Schreib- und Sprechweise
\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A \subseteq B}\) (sprich: „A ist Teilmenge von B“)

Beispiel 2

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Beobachtung 1
\(A\) ist in \(B\) enthalten.

Schreib- und Sprechweise 1
\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A \subseteq B}\) (sprich: „A ist Teilmenge von B“)

Beobachtung 2
\(A\) und \(B\) sind gleich.

Schreib- und Sprechweise 2
\(A = B\) (sprich: „A gleich B“)

Wie die beiden Einführungsbeispiele gezeigt haben, gilt offensichtlich:

Die Teilmengenbeziehung \(A \subseteq B\) (oder: \(B \subseteq A\))
schließt den Fall der Mengengleichheit \(A = B\) mit ein.

Anmerkung

Der Begriff „Echte Teilmenge“ schließt die Gleichheit von Mengen aus.

Definition einer Teilmenge

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge einer Menge \(B\),
wenn jedes Element von \(A\) auch zur Menge \(B\) gehört:

\(A \subseteq B~\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\forall x}_\text{für alle x gilt:}~~
(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x \in A \Rightarrow x \in B}_\text{aus  x ist Element von A  folgt  x ist Element von B}~~
)
\)

Mengen auf Teilmengenbeziehung prüfen

Beispiele

  • Ist \(A = \{1\}\) Teilmenge von \(B = \{1, 2, 3\}\)?

    Lösung
    \(A \subseteq B\) („A ist Teilmenge von B“)

    Erklärung
    Jedes Element von \(A\) ist auch in \(B\) enthalten ist.

  • Ist \(A = \{4\}\) Teilmenge von \(B = \{1, 2, 3\}\)?

    Lösung
    \(A \nsubseteq B\) („A ist keine Teilmenge von B“)

    Erklärung
    Das Element „4“ ist nicht in \(B\) enthalten ist.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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