Teilmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Teilmenge ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Menge $A$ heißt Teilmenge einer Menge $B$,
wenn jedes Element von $A$ auch zur Menge $B$ gehört:
$$ A \subseteq B~\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B) $$
Die obige Formel bedeutet übersetzt:
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\forall x}_\text{für alle x gilt:}~~ ( \underbrace{\vphantom{\big \vert}x \in A \Rightarrow x \in B}_\text{aus x ist Element von A folgt x ist Element von B}~~ ) $$
Untersuche, in welcher Beziehung
$$ A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
und
$$ B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
zueinander stehen.
Untersuche, in welcher Beziehung
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
und
$$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
zueinander stehen.
Anmerkung
Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass gilt:
Die Teilmengenbeziehung $A \subseteq B$ (oder: $B \subseteq A$) schließt den Fall der Mengengleichheit $A = B$ mit ein. Aus diesem Grund gibt es neben dem Begriff der Teilmenge
auch den Begriff der echten Teilmenge
, der die Gleichheit der Mengen ausschließt.
Mengen auf Teilmengenbeziehung prüfen
Ist $A = \{1\}$ Teilmenge von $B = \{1, 2, 3\}$?
$A \subseteq B$ (A ist Teilmenge von B
)
Begründung
Jedes Element von $A$ ist auch in $B$ enthalten ist.
