Mitternachts­formel

In diesem Kapitel lernen wir die abc-Formel, besser bekannt als Mitternachtsformel, kennen.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Eigentlich heißt die Formel abc-Formel, weil sie Gleichungen vom Typ ${\color{red}a}x^2 + {\color{red}b}x + {\color{red}c} = 0$ löst. Aufgrund ihrer herausragenden Bedeutung in der Schulmathematik ist sie aber besser bekannt als Mitternachtsformel: Jeder Schüler soll sie auch noch mitten in der Nacht aufsagen können!

Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in jeweils zwei Darstellungsformen:

Allgemeine FormNormalform
Reinquadratisch ohne Absolutglied$ax^2 = 0$$x^2 = 0$
Reinquadratisch mit Absolutglied$ax^2 + c = 0$$x^2 + q = 0$
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied$ax^2 + bx = 0$$x^2 + px = 0$
Gemischtquadratisch mit Absolutglied$ax^2 + bx + c = 0$$x^2 + px + q = 0$

Grundsätzlich können wir die Mitternachtsformel auf alle Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung jedoch nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren.

Formel 

Quadratische Gleichung in allgemeiner Form

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Mitternachtsformel

$$ x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$b^2 - 4ac$}}}}{2a} $$

Fallunterscheidung

$$ x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

$$ x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Anleitung 

Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen

Lösungen berechnen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 2)

Beim Herauslesen von $a$, $b$ und $c$ kommt es häufig zu Fehlern.

Die folgende Tabelle zeigt für jede Gleichungsart ein Beispiel:

Allgemeine FormNormalform
Reinquadratisch
ohne Absolutglied
$2x^2 = 0$
$a = 2$, $b = 0$ und $c = 0$
$x^2 = 0$
$a = 1$, $b = 0$ und $c = 0$
Reinquadratisch
mit Absolutglied
$2x^2 - 8 = 0$
$a = 2$, $b = 0$ und $c = -8$
$x^2 - 4 = 0$
$a = 1$, $b = 0$ und $c = -4$
Gemischtquadratisch
ohne Absolutglied
$2x^2 - 8x = 0$
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$a = 1$, $b = -4$ und $c = 0$
Gemischtquadratisch
mit Absolutglied
$2x^2 - 8x + 6 = 0$
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 6$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$a = 1$, $b = -4$ und $c = 3$

Regeln

  • Wenn das lineare Glied fehlt, gilt $b = 0$.
  • Wenn das absolute Glied fehlt, gilt $c = 0$.
  • Wenn das $x^2$ allein steht, gilt $a = 1$ (wegen $1 \cdot x^2 = x^2$).
    Vorzeichen beachten: $-x^2$ führt zu $a = -1$.
  • Wenn das $x$ allein steht, gilt $b = 1$ (wegen $1 \cdot x = x$).
    Vorzeichen beachten: $-x$ führt zu $b = -1$.

zu 4)

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von ${\fcolorbox{yellow}{}{$b^2 - 4ac$}}$, erkennen. Dieser Term heißt Diskriminante.

Beispiele 

Beispiel 1 

Löse die quadratische Gleichung

$$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $$

mithilfe der Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen

$a = 2$, $b = -8$ und $c = 6$

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$16$}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $b^2 - 4ac > 0...$}} \\[5px] &= \frac{8 \pm 4}{4} \end{align*} $$

Fallunterscheidung

$$ x_{1} = \dfrac{8 - 4}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 $$

$$ x_{2} = \dfrac{8 + 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es zwei Lösungen!}} $$

Beispiel 2 

Löse die quadratische Gleichung

$$ 2x^2 - 8x + 8 = 0 $$

mithilfe der Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen

$a = 2$, $b = -8$ und $c = 8$

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$0$}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $b^2 - 4ac = 0$...}} \\[5px] &= \frac{8 \pm 0}{4} \\[5px] &= \frac{8}{4} \\[5px] &= 2 \end{align*} $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{2\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es eine Lösung!}} $$

Beispiel 3 

Löse die quadratische Gleichung

$$ 2x^2 - 8x + 11 = 0 $$

mithilfe der Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen

$a = 2$, $b = -8$ und $c = 11$

$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$

Lösungen berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$-24$}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $b^2 - 4ac < 0$....}} \end{align*} $$

$\Rightarrow$ Es gibt keine reellen Lösungen, weil in der Menge der reellen Zahlen das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es keine Lösung!}} $$

Anmerkung

Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Herleitung 

Beispiel 4 

Löse die quadratische Gleichung

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

$$ \begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0 &&{\color{gray}|\, :a} \\[5px] \frac{ax^2}{\color{gray}a} + \frac{bx}{\color{gray}a} + \frac{c}{\color{gray}a} &= 0 \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \end{align*} $$

Absolutglied auf die rechte Seite bringen

$$ \begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 &&{\color{gray}|\, -\frac{c}{a}} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \end{align*} $$

Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.

$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}\frac{b}{a}}x &= -\frac{c}{a} &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} -\frac{c}{a} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \cdot {\color{gray}\frac{4a}{4a}} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\[5px] x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\[5px] \end{align*} $$

Binomische Formel anwenden

$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} \frac{b}{a}x + \left({\color{red}\frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}| \text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] \left({\color{red}x + \frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{align*} $$

Wurzel ziehen

$$ \begin{align*} \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\[5px] x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} \\[5px] x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align*} $$

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ \begin{align*} x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}\left|\, -\frac{b}{2a}\right.} \\[5px] x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align*} $$

Mitternachtsformel

$$ x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

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