Mitternachtsformel

In diesem Kapitel lernen wir die abc-Formel, besser bekannt als Mitternachtsformel, kennen.

Benötigtes Vorwissen

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Eigentlich heißt die Formel abc-Formel, weil sie Gleichungen vom Typ \({\color{red}a}x^2 + {\color{red}b}x + {\color{red}c} = 0\) löst. Aufgrund ihrer herausragenden Bedeutung in der Schulmathematik ist sie aber besser bekannt als Mitternachtsformel: Jeder Schüler soll sie auch mitten in der Nacht noch aufsagen können!

Kontext

Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in jeweils zwei Darstellungsformen:

  Allgemeine Form Normalform
Reinquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 = 0\) \(x^2 = 0\)
Reinquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + c = 0\) \(x^2 + q = 0\)
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 + bx = 0\) \(x^2 + px = 0\)
Gemischtquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + bx + c = 0\) \(x^2 + px + q = 0\)

Grundsätzlich können wir die Mitternachtsformel auf alle Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung jedoch nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren (\(\rightarrow\) Quadratische Gleichungen lösen).

Quadratische Gleichung in allgemeiner Form

\(ax^2 + bx + c = 0\)

Mitternachtsformel

\(x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(b^2 - 4ac\)}}}}{2a}\)

Fallunterscheidung

\(x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von \({\fcolorbox{yellow}{}{\(b^2 - 4ac\)}}\), erkennen.

Anleitung für das Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel:

1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
3) Lösungen berechnen
4) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 11\)

    2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}
    \end{align*}\)

    3) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(-24\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(b^2 - 4ac < 0\)....}}
    \end{align*}\)

    Die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert!

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es keine Lösung!}}\)

    Anmerkung:
    Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

  • \(2x^2 - 8x + 8 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 8\)

    2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}
    \end{align*}\)

    3) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(0\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(b^2 - 4ac = 0\)...}} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm 0}{4}
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_{1} = \dfrac{8 - 0}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)

    \(x_{2} = \dfrac{8 + 0}{4} =\dfrac{8}{4} = 2\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{2\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es eine Lösung!}}\)

  • \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 6\)

    2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}
    \end{align*}\)

    3) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(16\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn \(b^2 - 4ac > 0...\)}} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm 4}{4}
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_{1} = \dfrac{8 - 4}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\)

    \(x_{2} = \dfrac{8 + 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1; 3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es zwei Lösungen!}}\)

Sonderfälle

Wenn die quadratische Gleichung „anders aussieht“ (Schülerzitat) als in den obigen Beispielen, kommt es oft zu Fehlern beim Herauslesen von \(a\), \(b\) und \(c\). Hier alle Sonderfälle im Überblick:

  Allgemeine Form Normalform
Reinquadratisch
ohne Absolutglied
\(2x^2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = 0\) und \(c = 0\)
\(x^2 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 0\) und \(c = 0\)
Reinquadratisch
mit Absolutglied
\(2x^2 - 8 = 0\)
\(a = 2\), \(b = 0\) und \(c = -8\)
\(x^2 - 4 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 0\) und \(c = -4\)
Gemischtquadratisch
ohne Absolutglied
\(2x^2 - 8x = 0\)
\(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 0\)
\(x^2 - 4x = 0\)
\(a = 1\), \(b = -4\) und \(c = 0\)
Gemischtquadratisch
mit Absolutglied
\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 6\)
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -4\) und \(c = 3\)

Regeln

  • Wenn das lineare Glied fehlt, gilt \(b = 0\).
  • Wenn das absolute Glied fehlt, gilt \(c = 0\).
  • Wenn das \(x^2\) allein steht, gilt \(a = 1\) (wegen \(1 \cdot x^2 = x^2\)).
    Vorzeichen beachten: \(-x^2\) führt zu \(a = -1\).
  • Wenn das \(x\) allein steht, gilt \(b = 1\) (wegen \(1 \cdot x = x\)).
    Vorzeichen beachten: \(-x\) führt zu \(b = -1\).

Herleitung der Mitternachtsformel

Notwendiges Vorwissen: Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form \(ax^2 + bx + c = 0\).

1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

\(\begin{align*}
ax^2 + bx + c &= 0 &&{\color{gray}|:a} \\[5px]
\frac{ax^2}{\color{gray}a} + \frac{bx}{\color{gray}a} + \frac{c}{\color{gray}a} &= 0 \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0
\end{align*}\)

2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 &&{\color{gray}|-\frac{c}{a}} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a}
\end{align*}\)

3) Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}\frac{b}{a}}x &= -\frac{c}{a} &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} -\frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \cdot {\color{gray}\frac{4a}{4a}} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\[5px]
\end{align*}\)

4) Binomische Formel anwenden

\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} \frac{b}{a}x + \left({\color{red}\frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
\left({\color{red}x + \frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\end{align*}\)

5) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align*}\)

6) Lösungen berechnen

\(\begin{align*}
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|-\frac{b}{2a}} \\[5px]
x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align*}\)

Mitternachtsformel

\(x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Ausblick

  • Die pq-Formel ist eine vereinfachte Variante der Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen in Normalform. In der Schule wird oft nur diese Lösungsformel behandelt.
  • Der Fachbegriff für den Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel \({\fcolorbox{yellow}{}{\(b^2 - 4ac\)}}\) ist Diskriminante. Wie in den obigen Beispielen angedeutet (siehe Hinweise in gelb), macht die Diskriminante eine Aussage über Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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