Satz von Vieta

In diesem Artikel lernst du, wie man quadratische Gleichungen mit Hilfe des Satzes von Vieta löst. Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man unter quadratischen Gleichungen überhaupt versteht.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet

\(ax^2 + bx + c = 0\)

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der sog. "Normalform" vorliegen:

\(x^2 + px + q = 0\)

Normalform bedeutet, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist. Die Normalform erhält man, indem man die Gleichung durch den Koeffizienten vor dem \(x^2\) (also durch \(a\)) teilt.

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen \(p\) und \(q\) und den Lösungen der Gleichung \(x_1\) und \(x_2\) her:

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(x_1 \cdot x_2 = q\)

Mit Hilfe des Satzes von Vieta können wir (manche) quadratische Gleichungen ohne Taschenrechner im Kopf lösen.

Neben dem Satz von Vieta kann man noch mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel quadratische Gleichungen lösen.

Satz von Vieta verstehen

Gegeben ist die quadratische Gleichung

\({\color{red}{2}}x^2 - 4x - 16 = 0\)

Bevor wir den Satz von Vieta auf unser Beispiel anwenden können, müssen wir die Gleichung normieren, d.h. in die Normalform bringen. Dazu teilen wir die Gleichung durch den Koeffizienten, der vor \(x^2\) steht - in diesem Fall also durch 2.

\({\color{red}{2}}x^2 - 4x - 16 = 0 \quad |:{\color{red}{2}}\)

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

Nun liegt die Gleichung in Normalform vor und wir können den Satz von Vieta anwenden.

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen \(p\) und \(q\) und den Lösungen der Gleichung \(x_1\) und \(x_2\) her.

Allgemein

\(x^2 + {\colorbox{yellow}{\(p\)}}x + {\colorbox{orange}{\(q\)}} = 0\)

\(x_1 + x_2 = -{\colorbox{yellow}{\(p\)}}\)

\(x_1 \cdot x_2 = {\colorbox{orange}{\(q\)}}\)

Beispiel

\(x^2 {\colorbox{yellow}{\(-2\)}}x {\colorbox{orange}{\(-8\)}} = 0\)

\(x_1 + x_2 = -{\colorbox{yellow}{\((-2)\)}}\)

\(x_1 \cdot x_2 = {\colorbox{orange}{\(-8\)}}\)

Bedeutung der ersten Gleichung

\(x_1 + x_2 = -{\colorbox{yellow}{\((-2)\)}}\)

bzw.

\(x_1 + x_2 = 2\)

Die beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) der quadratischen Gleichung ergeben addiert \(2\). Hilft uns diese Information weiter? Leider nein, da es unendlich viele Zahlenkombinationen gibt, deren Summe \(2\) ist.

Konzentrieren wir uns also zunächst auf die zweite Gleichung.

Bedeutung der zweiten Gleichung

\(x_1 \cdot x_2 = {\colorbox{orange}{\(-8\)}}\)

Die beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) der quadratischen Gleichung ergeben miteinander multipliziert \(-8\). Diese Information hilft uns weiter, da es nur wenige Zahlenkombinationen gibt, deren Produkt \(-8\) ist.

Um die Zahlenkombinationen zu erhalten, gucken wir uns alle Faktoren von \(-8\) an:
\(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\) und \(\pm 8\).

Alle möglichen Kombinationen, um daraus \(-8\) zu berechnen, sind:

1. Kombination: \(1 \cdot (-8)\)

2. Kombination: \(-1 \cdot 8\)

3. Kombination: \(2 \cdot (-4)\)

4. Kombination: \(-2 \cdot 4\)

Nun müssen wir die beiden Faktoren finden, deren Summe \(2\) ist, damit auch die erste Gleichung erfüllt ist.

1. Kombination: \(1 + (-8) = -7\)

2. Kombination: \(-1 + 8 = 7\)

3. Kombination: \(2 + (-4) = -2\)

4. Kombination: \(-2 + 4 = 2\)

Die 4. Kombination erfüllt auch die erste Gleichung. Die Lösungen der quadratischen Gleichungen lauten demnach \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\).

Der Satz von Vieta in der Praxis

Nachdem wir im vorherigen Abschnitt besprochen haben, wie der Satz des Vieta zu verstehen ist, können wir uns nun mit dem praktischen Vorgehen beim Lösen von quadratischen Gleichungen beschäftigen.

Vorgehensweise

  1. Normalform berechnen
  2. Faktoren ("Teiler") von \(q\) bestimmen
  3. Faktoren bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) erfüllen
  4. Faktoren bestimmen, die \(x_1 + x_2 = - p\) erfüllen

Gegeben ist folgende quadratische Gleichung

\(-x^2 - x + 6 = 0\)

1.) Normalform berechnen

\({\color{red}{-1}}x^2 - x + 6 = 0 \qquad |\cdot ({\color{red}{-1}})\)

\(x^2 + {\colorbox{yellow}{\(1\)}}x {\colorbox{orange}{\(\:-\:6\)}} = 0\)

2.) Faktoren ("Teiler") von \(q\) bestimmen

\(q = {\colorbox{orange}{\(-6\)}}\)

  • \(\pm 1\)
  • \(\pm 2\)
  • \(\pm 3\)
  • \(\pm 6\)

3.) Faktoren bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) erfüllen

\(\begin{array}{rccccc}
& x_1 & \cdot & x_2 & = & {\colorbox{orange}{\(-6\)}}\\
\text{1. Kombination:}& 1 & \cdot & (-6) & = & -6\\
\text{2. Kombination:}& -1 & \cdot & 6 & = & -6\\
\text{3. Kombination:}& 2 & \cdot & (-3) & = & -6\\
\text{4. Kombination:}& -2 & \cdot & 3 & = & -6
\end{array}\)

4.) Faktoren bestimmen, die \(x_1 + x_2 = - p\) erfüllen

\(\begin{array}{rccccrc}
& x_1 & + & x_2 & = & -{\colorbox{yellow}{\(1\)}} &\\
\text{1. Kombination:}& 1 & + & (-6) & = & -5 & \times\\
\text{2. Kombination:}& -1 & + & 6 & = & 5 & \times\\
\text{3. Kombination:}& 2 & + & (-3) & = & -1 & \checkmark\\
\text{4. Kombination:}& -2 & + & 3 & = & 1 & \times
\end{array}\)

Lösung: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\).

Wie wir gesehen haben, leistet der Satz von Vieta bei der Berechnung ganzzahliger Lösungen gute Dienste. Manchmal lassen sich auf diese Weise sogar Gleichungen im Kopf lösen. In Prüfungen verwendet man zur Lösung von quadratischen Gleichungen in der Regel die Mitternachtsformel oder die pq-Formel. Grund dafür ist, dass diese Verfahren auch dann zu einem Ergebnis führen, wenn es sich nicht um ganzzahlige Lösungen handelt.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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