Satz von Vieta

In diesem Kapitel lernen wir den Satz von Vieta kennen.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in Normalform \(x^2 + px + q = 0\).

Zwischen den Koeffizienten \(p\) und \(q\) und den Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gilt der Zusammenhang:

Satz von Vieta

\(x_1 + x_2 = -p\)
Die Summe der Lösungen entspricht dem negativen Koeffizienten von \(x\).

\(x_1 \cdot x_2 = q\)
Das Produkt der Lösungen entspricht dem Absolutglied.

Für den Satz von Vieta gibt es viele interessante Anwendungsmöglichkeiten.

Anwendungen des Satzes von Vieta

a) Lösungen überprüfen
b) Quadratische Gleichung bestimmen
c) Zweite Lösung berechnen
d) Ganzzahlige Lösungen ermitteln

a) Lösungen überprüfen („Probe machen“)

Ob eine gefundene Lösung richtig ist, können wir durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüfen. Wenn wir eine wahre Aussage erhalten, ist die Lösung richtig, ansonsten falsch.

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) die Lösungen der Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) sind.

    Einsetzen von \(x = 1\) ergibt

    \(\begin{align*}
    1^2 - 4 \cdot 1 + 3 &= 0 \\[5px]
    1 - 4 + 3 &= 0 \\[5px]
    0 &= 0 &&\text{Wahre Aussage!}\\[5px]
    \end{align*}\)

    Einsetzen von \(x = 3\) ergibt

    \(\begin{align*}
    3^2 - 4 \cdot 3 + 3 &= 0 \\[5px]
    9 - 12 + 3 &= 0 \\[5px]
    0 &= 0 &&\text{Wahre Aussage!}\\[5px]
    \end{align*}\)

Deutlich einfacher ist allerdings die Probe mithilfe des Satzes von Vieta.

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) die Lösungen der Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) sind.

    \(x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4}\)

    \(x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3 = q\)

Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen setzen wir \(x_1 = x_2\).

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(x = 2\) die Lösung der Gleichung \(x^2 - 4x + 4 = 0\) ist.

    Wir setzen \(x_1 = x_2 = 2\).

    \(x_1 + x_2 = 2 + 2 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4}\)

    \(x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 2= 4 = q\)

b) Quadratische Gleichung bestimmen

Wenn \(x_1\) und \(x_2\) gegeben sind, können wir \(p\) und \(q\) berechnen.

Beispiel

  • Bestimme die quadratische Gleichung, deren Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) sind.

    \(x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4}\)

    \(x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3 = q\)

    Einsetzen von \(p = -4\) und \(q = 3\) in \(x^2 + px + q = 0\) ergibt \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen setzen wir \(x_1 = x_2\).

Beispiel

  • Bestimme die quadratische Gleichung, deren einzige Lösung \(x = 2\) ist.

    Wir setzen \(x_1 = x_2 = 2\).

    \(x_1 + x_2 = 2 + 2 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4}\)

    \(x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 2= 4 = q\)

    Einsetzen von \(p = -4\) und \(q = 4\) in \(x^2 + px + q = 0\) ergibt \(x^2 - 4x + 4 = 0\).

c) Zweite Lösung berechnen

Wenn eine Lösung bekannt ist, können wir die andere mithilfe des Satzes von Vieta berechnen.

Beispiel

  • Bestimme die zweite Lösung der Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Gegeben: \(x_1 = 1\).

    Ansatz 1

    \(x_1 + x_2 = -p \quad \Rightarrow \quad x_2 = -p - x_1\)

    Einsetzen von \(p = -4\) und \(x_1 = 1\) ergibt \(x_2 = -(-4) - 1 = 4 - 1 = 3\).

    Ansatz 2

    \(x_1 \cdot x_2 = q \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{q}{x_1}\)

    Einsetzen von \(q = 3\) und \(x_1 = 1\) ergibt \(x_2 = \frac{3}{1} = 3\).

Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen stimmen \(x_1\) und \(x_2\) überein.

Beispiel

  • Bestimme, falls möglich, die zweite Lösung von \(x^2 - 4x + 4 = 0\). Gegeben: \(x_1 = 2\).

    Ansatz 1

    \(x_1 + x_2 = -p \quad \Rightarrow \quad x_2 = -p - x_1\)

    Einsetzen von \(p = -4\) und \(x_1 = 2\) ergibt \(x_2 = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2\).

    Ansatz 2

    \(x_1 \cdot x_2 = q \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{q}{x_1}\)

    Einsetzen von \(q = 4\) und \(x_1 = 1\) ergibt \(x_2 = \frac{4}{1} = 2\).

    Antwort

    Wegen \(x_1 = x_2 = 2\) hat die quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung.

d) Ganzzahlige Lösungen ermitteln

Wenn \(x_1\) und \(x_2\) ganzzahlig sind, sind sie wegen \(x_1 \cdot x_2 = q\) Teiler von \(q\).

1) Teiler von \(q\) bestimmen
2) Teiler von \(q\) bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) erfüllen
3) Teiler von \(q\) bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) und \(x_1 + x_2 = -p\) erfüllen
4) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel

  • \(x^2 - 3x - 4 = 0\)

    1) Teiler von \(q\) bestimmen

    \(q = -4\)

    Mögliche Lösungen

    \(\pm 1\), \(\pm 2\) und \(\pm 4\).

    2) Teiler von \(q\) bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) erfüllen

    Mögliche Lösungen 1

    \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -4\) wegen \(1 \cdot (-4) = -4\).

    Mögliche Lösungen 2

    \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 4\) wegen \((-1) \cdot 4 = -4\)

    3) Teiler von \(q\) bestimmen, die \(x_1 \cdot x_2 = q\) und \(x_1 + x_2 = -p\) erfüllen

    \(p = -3 \quad \Rightarrow \quad -p = 3\)

    Mögliche Lösungen 1

    \(1 + (-4) = -3 \quad \neq -p\)

    Mögliche Lösungen 2

    \(-1 + 4 = 3 \quad = -p\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-1; 4\}\)

Auf den ersten Blick sieht das obige Verfahren vielleicht etwas kompliziert aus. Sobald du es aber verstanden hast, kannst du damit einfache quadratische Gleichungen im Kopf (!) lösen.

Beispiele

  • \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

    Teiler von \(q = 3\)

    \(\pm 1\), \(\pm 3\)

    \(x_ 1 \cdot x_2 = q = 3\)

    \(1 \cdot 3 = 3\)

    \((-1) \cdot (-3) = 3\)

    \(x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4\)

    \(1 + 3 = 4\)

    \(\Rightarrow \mathbb{L} = \{1; 3\}\)

  • \(x^2 - 2x - 8 = 0\)

    Teiler von \(q = -8\)

    \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\), \(\pm 8\)

    \(x_ 1 \cdot x_2 = q = -8\)

    \((-1) \cdot 8 = -8\)

    \(1 \cdot (-8) = -8\)

    \((-2) \cdot 4 = -8\)

    \(2 \cdot (-4) = -8\)

    \(x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2\)

    \(-2 + 4 = 2\)

    \(\Rightarrow \mathbb{L} = \{-2; 4\}\)

  • \(x^2 - 4x + 4 = 0\)

    Teiler von \(q = 4\)

    \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\)

    \(x_ 1 \cdot x_2 = q = 4\)

    \(1 \cdot 4 = 4\)

    \((-1) \cdot (-4) = 4\)

    \(2 \cdot 2 = 4\)

    \((-2) \cdot (-2) = 4\)

    \(x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4\)

    \(2 + 2 = 4\)

    \(\Rightarrow x_1 = x_2\), d. h. es gibt nur eine einzige Lösung.

    \(\Rightarrow \mathbb{L} = \{2\}\)

  • \(x^2 + 2x - 5 = 0\)

    Teiler von \(q = -5\)

    \(\pm 1\), \(\pm 5\)

    \(x_ 1 \cdot x_2 = q = -5\)

    \((-1) \cdot 5 = -5\)

    \(1 \cdot (-5) = -5\)

    \(x_1 + x_2 = -p = -2\)

    \(-1 + 5 = 4 \quad \neq -2\)

    \(1 - 5 = -4 \quad \neq -2\)

    \(\Rightarrow\) Es gibt keine ganzzahlige (!) Lösung!

    Nicht ganzzahlige Lösungen berechnen wir mit der Mitternachtsformel / pq-Formel:

    \(x_1 = -1 -\sqrt{6}\)

    \(x_2 = -1 +\sqrt{6}\)

    \(\Rightarrow \mathbb{L} = \{-1 -\sqrt{6}, -1 +\sqrt{6}\}\)

Wenn nicht anders angegeben, lösen wir quadratische Gleichungen stets durch eine der Lösungsformeln. Der Satz von Vieta führt uns nur in Ausnahmefällen zur Lösungsmenge.

Beweis des Satzes von Vieta

Der Satz von Vieta lässt sich z. B. mithilfe der pq-Formel oder der Produktform beweisen.

a) pq-Formel

Laut pq-Formel berechnen sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu

\(x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)

\(x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)

Daraus folgt:

\(\begin{align*}
x_1 + x_2
&= -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
&= -\dfrac{p}{2} -\dfrac{p}{2} \\[5px]
&= -p
\end{align*}\)

und

\(\begin{align*}
x_1 \cdot x_2
&= \left(-\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) \cdot \left(-\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) \\[5px]
&= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} - \frac{p}{2} \cdot \left(-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px]
&= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} + \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px]
&= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px]
&= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\right) \\[5px]
&= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 + q \\[5px]
&= q
\end{align*}\)

b) Produktform

\(\begin{align*}
x^2 + px + q
&= (x - x_1) \cdot (x - x_2) \\[5px]
&= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\[5px]
&= x^2 + (- x_1 - x_2) x + x_1 x_2 \\[5px]
&= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{q}
\end{align*}\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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