Teiler

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Teiler einer natürlichen Zahl ist.

Aus dem Alltag

Bestimmt hast du schon einmal eine Tüte Bonbons oder Ähnliches mit deinen Freunden geteilt. Ging es dabei gerecht zu? Unter einer gerechten Aufteilung verstehen wir eine Aufteilung, bei der jeder gleich viel bekommt. 6 Schokoriegel könnten z. B. folgendermaßen gerecht verteilt werden:

\(6 : 1 = 6\) (1 Person bekommt 6 Schokoriegel)
\(6 : 2 = 3\) (2 Personen bekommen je 3 Schokoriegel)
\(6 : 3 = 2\) (3 Personen bekommen je 2 Schokoriegel)
\(6 : 4 = 1 \text{ Rest } 2\) (4 Personen bekommen je 1 Schokoriegel, 2 Schokoriegel bleiben übrig)
\(6 : 5 = 1 \text{ Rest } 1\) (5 Personen bekommen je 1 Schokoriegel, 1 Schokoriegel bleibt übrig)
\(6 : 6 = 1\) (6 Personen bekommen je 1 Schokoriegel)

Um keine Schokoriegel wegwerfen zu müssen, interessieren wir uns für die Fälle ohne Rest:

Eine natürliche Zahl \(t\) heißt Teiler einer natürliche Zahl \(a\), wenn bei der Division \(a : t\) („a geteilt durch t“) kein Rest bleibt.

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(3\) ein Teiler von \(6\) ist.

    \(6 : 3 = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)

    \(\Rightarrow\) \(3\) teilt \(6\) ohne Rest

Schreibweise

\(3 \mid 6\)

Sprechweise

  • „3 teilt 6.“
  • „3 ist ein Teiler von 6.“
  • „6 ist durch 3 teilbar.“
  • „6 ist ein Vielfaches von 3.“

Gegenbeispiel

  • Überprüfe, ob \(4\) ein Teiler von \(6\) ist.

    \(6 : 4 = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2}\)

    \(\Rightarrow\) \(4\) teilt \(6\) mit Rest

Schreibweise

\(4 \nmid 6\)

Sprechweise

  • „4 teilt 6 nicht.“
  • „4 ist kein Teiler von 6.“
  • „6 ist nicht durch 4 teilbar.“
  • „6 ist kein Vielfaches von 4.“

Ausblick

  • Jede natürliche Zahl hat mindestens zwei Teiler.
  • Alle Teiler einer Zahl \(a\) werden in der Teilermenge \(T_a\) zusammengefasst.
  • Um zu überprüfen, ob \(t\) ein Teiler von \(a\) ist, müssen wir nicht immer \(a : t\) rechnen. Die schriftliche Division können wir uns durch Beachtung der Teilbarkeitsregeln oft sparen!

Sonderfall: Null

a) Null als Teiler

\(0 \nmid a \quad \text{für } a \in \mathbb{N}\)

Übersetzung

Keine natürliche Zahl ist durch \(0\) teilbar.

Anmerkung

Die Null kann nie Teiler sein, weil eine Division durch Null in der Mathematik nicht definiert ist.

b) Teiler von Null

\(t \mid 0 \quad \text{für } t \in \mathbb{N}^{*}\)

Übersetzung

Die Null ist durch jede natürliche Zahl (außer durch sich selbst) teilbar.

Anmerkung

\(\mathbb{N}^{*}\) ist die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null. Die Null muss hier ausgeschlossen werden, weil der Ausdruck \(0 : 0\) nicht definiert ist, denn, wie bereits erwähnt, kann Null nie Teiler sein.

Beispiele

  • \(0 : 1 = 0 \quad \Rightarrow 1 \mid 0\)
  • \(0 : 2 = 0 \quad \Rightarrow 2 \mid 0\)
  • \(0 : 3 = 0 \quad \Rightarrow 3 \mid 0\)

Triviale Teiler

Jede natürliche Zahl größer Null hat genau zwei triviale Teiler. Das Adjektiv „trivial“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „für jedermann ersichtlich“. Diese Bezeichnung ist sinnvoll, denn die trivialen Teiler einer Zahl können wir sofort, also ohne Rechnung, angeben.

\(1 \mid a \quad \text{für } a \in \mathbb{N}\)

Übersetzung

Jede natürliche Zahl ist durch \(1\) teilbar.

Beispiele

  • \(0 : 1 = 0 \quad \Rightarrow 1 \mid 0\)
  • \(1 : 1 = 1 \quad \Rightarrow 1 \mid 1\)
  • \(2 : 1 = 2 \quad \Rightarrow 1 \mid 2\)
  • \(3 : 1 = 3 \quad \Rightarrow 1 \mid 3\)

\(a \mid a \quad \text{für } a \in \mathbb{N}^{*}\)

Übersetzung

Jede natürliche Zahl (außer die Null) ist durch sich selbst teilbar.

Anmerkung

\(\mathbb{N}^{*}\) ist die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null. Die Null muss hier ausgeschlossen werden, weil der Ausdruck \(0 : 0\) nicht definiert ist, denn, wie bereits erwähnt, kann Null nie Teiler sein.

Beispiele

  • \(1 : 1 = 1 \quad \Rightarrow 1 \mid 1\)
  • \(2 : 2 = 1 \quad \Rightarrow 2 \mid 2\)
  • \(3 : 3 = 1 \quad \Rightarrow 3 \mid 3\)

Ausblick

  • Die trivialen Teiler werden auch als „unechte Teiler“ bezeichnet.
  • Zahlen, die nur unechte Teiler haben, heißen Primzahlen.
  • Neben unechten Teilern haben die meisten Zahlen noch weitere Teiler, die „echten Teiler“.
  • Zahlen, die neben unechten auch echte Teiler haben, heißen zusammengesetzte Zahlen.

Weitere Eigenschaften der Teilbarkeit

Neben den bereits genannten Eigenschaften der Teilbarkeit einer natürlichen Zahl gibt es noch weitere Eigenschaften, von denen wir uns einige im Folgenden genauer anschauen werden.

Für alle natürlichen Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) und \(t\) gilt:

\(t \mid a \text{ und } a \mid b \quad \Rightarrow \quad t \mid b\)

Übersetzung

Der Teiler \(t\) eines Teilers \(a\) einer Zahl \(b\) ist auch Teiler der Zahl \(b\).

Beispiel

  • \(2 \mid 4 \text{ und } 4 \mid 8 \quad \Rightarrow \quad 2 \mid 8\)

\(t \mid a \text{ und } t \mid b \quad \Rightarrow \quad t \mid (a + b)\)

Übersetzung

Wenn \(t\) Teiler von jedem Summanden einer Summe ist, so teilt \(t\) auch die Summe.

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(3\) Teiler von \(15 + 30\) ist.

    \(3 \mid 15 \text{ und } 3 \mid 30 \quad \Rightarrow \quad 3 \mid (15 + 30)\)

Gegenbeispiel

  • Überprüfe, ob \(3\) Teiler von \(15 + 31\) ist.

    \(3 \mid 15 \text{ und } 3 \nmid 31 \quad \Rightarrow \quad 3 \nmid (15 + 31)\)

Anmerkung

(1) Der Satz ist nicht umkehrbar, so gilt z. B.
\(3 \mid (10 + 5), \text{ aber } 3 \nmid 10 \text{ und } 3 \nmid 5\)

(2) Der Satz gilt nicht für drei- oder mehrgliedrige Summen, so gilt z. B.
\(3 \mid 3,\, 3 \nmid 4 \text{ und } 3 \nmid 8, \text{ aber } 3 \mid (3 + 4+ 8)\)

\(t \mid a \text{ und } t \mid b \quad \Rightarrow \quad t \mid (a - b) \quad \text{für } a \geq b\)

Übersetzung

Wenn in einer Differenz der Minuend größer oder gleich dem Subtrahenden ist und \(t\) Teiler von sowohl Minuend als auch Subtrahend, so teilt \(t\) auch die Differenz.

Beispiel

  • Überprüfe, ob \(5\) Teiler von \(25 - 10\) ist.

    \(25 \geq 10 \quad \Rightarrow \quad \text{Voraussetzung erfüllt}\)
    \(5 \mid 25 \text{ und } 5 \mid 10 \quad \Rightarrow \quad 5 \mid (25 - 10)\)

\begin{equation*}
\left.\begin{aligned}
& t \mid a \text{ und } t \mid b \\
& t \mid a \text{ und } t \nmid b \\
& t \nmid a \text{ und } t \mid b
\end{aligned}\right\}
\Rightarrow t \mid (a \cdot b)
\end{equation*}

Übersetzung

Wenn \(t\) Teiler von mindestens einem Faktor eines Produktes ist, so teilt \(t\) auch das Produkt.

Beispiele

  • \(7 \mid 21 \text{ und } 7 \mid 35 \quad \Rightarrow \quad 7 \mid (21 \cdot 35)\)
  • \(11 \mid 22 \text{ und } 11 \nmid 23 \quad \Rightarrow \quad 11 \mid (22 \cdot 23)\)
  • \(13 \nmid 25 \text{ und } 13 \mid 39 \quad \Rightarrow \quad 13 \mid (25 \cdot 39)\)

Gegenbeispiel

  • \(17 \nmid 35 \text{ und } 17 \nmid 36 \quad \Rightarrow \quad 17 \nmid (35 \cdot 36)\)

Anmerkung

Der Satz ist nicht umkehrbar, so gilt z. B.
\(6 \mid (8 \cdot 9), \text{ aber } 6 \nmid 8 \text{ und } 6 \nmid 9\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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