Vielfaches
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Vielfache einer natürlichen Zahl ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Das Vielfache ist das Gegenstück zum Teiler.
Ist $t$ Teiler von $a$, so ist $a$ Vielfaches von $t$.
Überprüfe, ob $6$ ein Vielfaches von $3$ ist.
$$ 6 : 3 = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
$\Rightarrow$ $3 \mid 6$$\Rightarrow$ $3$ ist Teiler von $6$$\Rightarrow$ $6$ ist Vielfaches von $3$
Überprüfe, ob $6$ ein Vielfaches von $4$ ist.
$$ 6 : 4 = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2} $$
$\Rightarrow$ $4 \nmid 6$$\Rightarrow$ $4$ ist kein Teiler von $6$$\Rightarrow$ $6$ ist kein Vielfaches von $4$
Das Vielfache können wir aber auch unabhängig vom Teiler betrachten:
Das Produkt aus einer natürlichen Zahl $t$ und einer natürlichen Zahl $a$ heißt Vielfaches (das $a$-fache) von $t$.
Berechne die ersten fünf Vielfachen von $3$.
$1 \cdot 3 = 3$ $\quad \Rightarrow$ Das $1$-fache von $3$ ist $3$.$2 \cdot 3 = 6$ $\quad \Rightarrow$ Das $2$-fache von $3$ ist $6$.$3 \cdot 3 = 9$ $\quad \Rightarrow$ Das $3$-fache von $3$ ist $9$.$4 \cdot 3 = 12$ $\;\; \Rightarrow$ Das $4$-fache von $3$ ist $12$.$5 \cdot 3 = 15$ $\;\; \Rightarrow$ Das $5$-fache von $3$ ist $15$.
Anmerkungen
Jede natürliche Zahl ist ein Vielfaches von sich selbst, nämlich das $1$-fache.
Jede natürliche Zahl ist ein Vielfaches von $1$.
Auch das $0$-fache jeder natürlichen Zahl $t$ heißt Vielfaches von $t$.
Da das $0$-fache von $a$ aber immer $0$ ist ($0 \cdot a = 0$) und die $0$ somit Vielfaches jeder natürlichen Zahl ist, wird meist das $1$-fache als 1. Vielfaches der Zahl betrachtet.
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Ausblick
- Jede Zahl hat unendliche viele Vielfache.
- Alle Vielfache einer Zahl
$t$werden in der Vielfachenmenge$V_t$zusammengefasst. - Die Schnittmenge mehrerer Vielfachenmengen enthält die gemeinsamen Vielfachen.
- Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.
