Vielfaches
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Vielfache einer natürlichen Zahl ist.
Benötigtes Vorwissen
Kontext
Das Vielfache ist das Gegenstück zum Teiler.
Ist \(t\) Teiler von \(a\), so ist \(a\) Vielfaches von \(t\).
Beispiel
- Überprüfe, ob \(6\) ein Vielfaches von \(3\) ist.
\(6 : 3 = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
\(\Rightarrow\) \(3 \mid 6\)
\(\Rightarrow\) \(3\) ist Teiler von \(6\)
\(\Rightarrow\) \(6\) ist Vielfaches von \(3\)
Gegenbeispiel
- Überprüfe, ob \(6\) ein Vielfaches von \(4\) ist.
\(6 : 4 = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2}\)
\(\Rightarrow\) \(4 \nmid 6\)
\(\Rightarrow\) \(4\) ist kein Teiler von \(6\)
\(\Rightarrow\) \(6\) ist kein Vielfaches von \(4\)
Das Vielfache können wir aber auch unabhängig vom Teiler betrachten:
Das Produkt aus einer natürlichen Zahl \(t\) und einer natürlichen Zahl \(a\) heißt Vielfaches (das \(a\)-fache) von \(t\).
Beispiel
- Berechne die ersten fünf Vielfachen von \(3\).
\(1 \cdot 3 = 3\) \(\quad \Rightarrow\) Das \(1\)-fache von \(3\) ist \(3\).
\(2 \cdot 3 = 6\) \(\quad \Rightarrow\) Das \(2\)-fache von \(3\) ist \(6\).
\(3 \cdot 3 = 9\) \(\quad \Rightarrow\) Das \(3\)-fache von \(3\) ist \(9\).
\(4 \cdot 3 = 12\) \(\;\; \Rightarrow\) Das \(4\)-fache von \(3\) ist \(12\).
\(5 \cdot 3 = 15\)\(\;\;\; \Rightarrow\) Das \(5\)-fache von \(3\) ist \(15\).
Anmerkung
- Jede natürliche Zahl ist ein Vielfaches von sich selbst, nämlich das \(1\)-fache.
Beispiel: \(3\) ist das \(1\)-fache von \(3\) - Jede natürliche Zahl ist ein Vielfaches von \(1\).
Beispiel: \(27\) ist das \(27\)-fache von \(1\) - Auch das \(0\)-fache jeder natürlichen Zahl \(t\) heißt Vielfaches von \(t\).
(Da das \(0\)-fache von \(a\) aber immer \(0\) ist (\(0 \cdot a = 0\)) und die \(0\) somit Vielfaches jeder natürlichen Zahl ist, wird meist das \(1\)-fache als 1. Vielfaches der Zahl betrachtet.)
Ausblick
- Jede Zahl hat unendliche viele Vielfache.
- Alle Vielfache einer Zahl \(t\) werden in der Vielfachenmenge \(V_t\) zusammengefasst.
- Die Schnittmenge mehrerer Vielfachenmengen enthält die gemeinsamen Vielfachen.
- Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider