Kleinstes gemeinsames Vielfaches

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Wenn wir die Vielfachenmengen von \(2\) und \(3\) auf Gemeinsamkeiten untersuchen,

\(V_2 = \{2, 4, \class{mb-green}{6}, 8, 10, \class{mb-green}{12}, 14, 16, \class{mb-green}{18}, 20, \dots\}\)

\(V_3 = \{3, \class{mb-green}{6}, 9, \class{mb-green}{12}, 15, \class{mb-green}{18}, 21, \dots\}\)

dann stellen wir fest, dass die Vielfachen \(\class{mb-green}{6}\), \(\class{mb-green}{12}\), \(\class{mb-green}{18}\), \(\dots\) in beiden Mengen vorkommen. Das kleinste gemeinsame Vielfache (hier: \(\class{mb-green}{6}\)) spielt dabei eine besondere Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die Vielfaches aller dieser Zahlen ist.

Schreibweise

  • \(\text{kgV}(a, b)\)

Sprechweise

  • „k g V von a und b“
  • „Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b“

Beispiel

  • \(\text{kgV}(2, 3) = 6\)

Praktische Bedeutung

Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen

Es gibt verschiedene Rechenverfahren, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen.

a) kgV über Vielfachenmengen

Beispiel

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(12\) und \(18\).

    1) Vielfachenmengen bestimmen
    \(V_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \dots\}\)
    \(V_{18} = \{18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, \dots\}\)

    2) Gemeinsame Vielfache markieren
    \(V_{12} = \{12, 24, \underline{36}, 48, 60, \underline{72}, 84, 96, \underline{108}, \dots\}\)
    \(V_{18} = \{18, \underline{36}, 54, \underline{72}, 90, \underline{108}, \dots\}\)

    3) Kleinstes gemeinsames Vielfaches markieren
    \(V_{12} = \{12, 24, \class{mb-green}{\underline{36}}, 48, 60, \underline{72}, 84, 96, \underline{108}, \dots\}\)
    \(V_{18} = \{18, \class{mb-green}{\underline{36}}, 54, \underline{72}, 90, \underline{108}, \dots\}\)

    4) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{kgV}(12, 18) = 36\)

Anmerkung

Die Vielfachenmengen mehrerer Zahlen zu bestimmen, kann ziemlich zeitaufwändig sein. Wenn du die Primfaktorzerlegung bereits beherrscht, ist das folgende Verfahren einfacher.

b) kgV über Primfaktorzerlegung

Das kgV zweier natürlicher Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren.

Beispiele

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(12\) und \(18\).

    1) Primfaktorzerlegung durchführen
    \(12 = 2^2 \cdot 3\)
    \(18 = 2 \cdot 3^2\)

    2) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
    \(12 = \underline{2^2} \cdot 3\)
    \(18 = 2 \cdot \underline{3^2}\)

    Anmerkung
    \(2^2\) ist eine höhere Potenz als \(2\).
    \(3^2\) ist eine höhere Potenz als \(3\).

    3) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
    \(\text{kgV}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36\)

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(30\) und \(50\).

    1) Primfaktorzerlegung durchführen
    \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\)
    \(50 = 2 \cdot 5^2\)

    2) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
    \(30 = \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot 5\)
    \(50 = 2 \cdot \underline{5^2}\)

    Anmerkung
    Die \(2\) ist in beiden Zerlegungen die höchste Potenz. Wir markieren sie nur einmal.
    Die \(3\) kommt in nur einer Zerlegung vor. Sie ist somit die höchste Potenz.
    \(5^2\) ist eine höhere Potenz als \(5\).

    3) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
    \(\text{kgV}(30, 50) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150\)

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(35\).

    1) Primfaktorzerlegung durchführen
    \(6 = 2 \cdot 3\)
    \(35 = 5 \cdot 7\)

    2) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
    \(6 = \underline{2} \cdot \underline{3}\)
    \(35 = \underline{5} \cdot \underline{7}\)

    3) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
    \(\text{kgV}(6, 35) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\)

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(18\).

    1) Primfaktorzerlegung durchführen
    \(6 = 2 \cdot 3\)
    \(18 = 2 \cdot 3^2\)

    2) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
    \(6 = 2 \cdot 3\)
    \(18 = \underline{2} \cdot \underline{3^2}\)

    3) Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
    \(\text{kgV}(6, 18) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\)

Anmerkung

  • Das kgV zweier teilerfremder Zahlen entspricht ihrem Produkt.
    Beispiel: \(\text{kgV}(6, 35) = 6 \cdot 35 = 210\)

  • Ist \(a\) Teiler von \(b\) (\(b\) ein Vielfaches von \(a\)), dann gilt: \(\text{kgV}(a, b) = b\).
    Beispiel: \(\text{kgV}(6, 18) = 18\)

Wenn das kgV von sehr großen Zahlen berechnet werden soll, kann auch dieses Verfahren ziemlich zeitaufwändig sein. Es empfiehlt sich dann, den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus zu berechnen und anschließend das kgV.

c) kgV über ggT

Zwischen dem kgV und dem ggT gilt folgender Zusammenhang:

\(\text{kgV}(a, b) \cdot \text{ggT}(a, b) = a \cdot b\)

Daraus folgt: \(\text{kgV}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)}\)

Beispiel

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(144\) und \(256\).

    1) ggT mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen
    \(\text{ggT}(144, 256) = 16\)

    2) Zwischenergebnis in die Formel einsetzen und ausrechnen
    \(\begin{align*}
    \text{kgV}(144, 256)
    &= \frac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)} \\[5px]
    &= \frac{144 \cdot 256}{16} \\[5px]
    &= \frac{36864}{16} \\[5px]
    &= 2304
    \end{align*}\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!