Größter gemeinsamer Teiler
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT).
Notwendiges Vorwissen: Teiler und Primfaktorzerlegung
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl,
durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.
Beispiel
Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18.
Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Teiler von 18 sind: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Teiler, die 12 und 18 gemeinsam haben, sind: 1, 2, 3, 6
Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6.
\(\Rightarrow \text{ggT}(12;18) = 6\)
Anwendungen
Im Folgenden findest du einige Beispiele, wann das ggT eine Rolle spielt:
- Bruchrechnung: Brüche kürzen
- Wurzelrechnung: Wurzeln kürzen
Größter gemeinsamer Teiler berechnen
Vorgehensweise
- Primfaktorzerlegung
- Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen
- Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
In Worten:
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.
Beispiel 1
Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 10 und 12.
1.) Primfaktorzerlegung
\(10 = 2 \cdot 5\)
\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)
2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen
\(10 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 5\)
\(12 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 2 \cdot 3\)
Erklärung
Es gibt einen gemeinsamen Primfaktor. Dabei handelt es sich um eine 2.
3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
In diesem Fall gibt es nur einen gemeinsamen Primfaktor, weshalb eine Multiplikation entfällt.
\(\text{ggT}(10;12) ={\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)
Der größte gemeinsame Teiler von 10 und 12 ist 2.
Beispiel 2
Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 20 und 12.
1.) Primfaktorzerlegung
\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\)
\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)
2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen
\(20 ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot 5\)
\(12 ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot 3\)
Erklärung
Es gibt zwei gemeinsame Primfaktoren. Die 2 kommt in beiden Zerlegungen zweimal vor.
3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
\(\text{ggT}(20;12) ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} = 4\)
Der größte gemeinsame Teiler von 20 und 12 ist 4.
Beispiel 3
Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 15 und 90.
1.) Primfaktorzerlegung
\(15 = 3 \cdot 5\)
\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\)
2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen
\(15 ={\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)
\(90 = 2 \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot 3 \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)
Erklärung
Es gibt zwei gemeinsame Primfaktoren. Es handelt sich um eine 3 und eine 5.
3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
\(\text{ggT}(15;90) ={\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}} = 15\)
Der größte gemeinsame Teiler von 15 und 90 ist 15.
Primzahlen, Vielfache und Teiler
Weitere Informationen zu diesem Themebereich findest du in den folgenden Artikeln:
| Primzahlen |
| Teilbarkeitsregeln |
| Primfaktorzerlegung |
| Vielfaches |
| > Vielfachenmenge |
| Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) |
| Teiler |
| > Teilermenge |
| Größter gemeinsamer Teiler (ggT) |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider