Brüche kürzen

Das Umformen von \(\frac{2}{8}\) zu \(\frac{1}{4}\) bezeichnet man als „Kürzen“.
Kürzen heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu vergröbern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 8 kleinen auf 4 große Stücke vergröbert.

Problemstellung

Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der „Wert“ des Bruchs genannt wird.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0,25\)

...

Aus dem Kapitel Brüche erweitern wissen wir bereits, dass gilt:

Umgekehrt gilt:

Brüche kürzen - Beispiel

Kürze \(\frac{6}{9}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner durch 3 dividieren

\(\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}\)

Begriff: Kürzungszahl

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungszahl.

Brüche vollständig kürzen

Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, bei der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt. Man sagt dann, der Bruch ist vollständig gekürzt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) von Zähler und Nenner gibt.

Beispiel

Wir kürzen den Bruch \(\frac{18}{27}\) auf \(\frac{6}{9}\) (\(\rightarrow\) Kürzungszahl = 3).
Der Bruch \(\frac{6}{9}\) ist nicht vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner noch durch 3 dividiert werden können.

Wir kürzen den Bruch \(\frac{18}{27}\) auf \(\frac{2}{3}\) (\(\rightarrow\) Kürzungszahl = 9).
Der Bruch \(\frac{2}{3}\) ist vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner (außer 1) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, musst du den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen. Die Kürzungszahl ist also der ggT des Nenners und des Zählers.

zu 1.)

Zunächst zerlegen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als „Faktorisieren“. Das Faktorisieren von Brüchen, deren Zähler und Nenner lediglich aus Zahlen bestehen, erfolgt mittels Primfaktorzerlegung.

zu 2.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1

\[\frac{2}{6} =\frac{2}{2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2}}{\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3}\]

Beispiel 2

\[\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}\]

Beispiel 3

\[\frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}}{3 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}} = \frac{2}{3}\]

Anmerkung: Das Streichen (oder Kürzen) der gemeinsamen Faktoren entspricht der Division des Zählers und des Nenners durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Wie man Brüche kürzt, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme kürzen. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche	\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch	Zähler < Nenner
> Stammbruch	Zähler = 1
> Zweigbruch	Zähler > 1
> Unechter Bruch	Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch	Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch	Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern	\[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl
Brüche kürzen	\[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl
Brüche gleichnamig machen
> Gleichnamige Brüche	\(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche	\(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert	\[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche subtrahieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren	\[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren	\[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch	\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen
Gleichheit von Brüchen	\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen	\(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln
Brüche umwandeln	[6 Unterkapitel!]
Bruchterme
Bruchterme	[8 Unterkapitel!]