Erweiterungszahl
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Erweiterungszahl ist.
Notwendiges Vorwissen: Brüche erweitern
Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert,
heißt Erweiterungszahl.
Im Zusammenhang mit der Erweiterungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:
a) Bruch erweitern mit gegebener Erweiterungszahl
Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 3.
Lösung
Zähler und Nenner mit der Erweiterungszahl multiplizieren
\[\frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9}\]
b) Erweiterungszahl berechnen
Der Bruch \(\frac{1}{4}\) wurde auf den Bruch \(\frac{2}{8}\) erweitert.
Mit welcher Erweiterungszahl wurde der Bruch erweitert?
Lösung
Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren
\(2:1 = {\color{red}2}\)
Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren
\(8:4 = {\color{red}2}\)
c) Zähler des erweiterten Bruchs bestimmen
\[\frac{5}{9} = \frac{?}{27}\]
Lösung
1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Erweiterungszahl)
\(27:9 = {\color{red}3}\)
2.) Gegebenen Zähler mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Zähler)
\(5 \cdot {\color{red}3} = 15\)
\(\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{15}{27}\)
d) Nenner des erweiterten Bruchs bestimmen
\[\frac{7}{9} = \frac{14}{?}\]
Lösung
1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Erweiterungszahl)
\(14:7 = {\color{red}2}\)
2.) Gegebenen Nenner mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Nenner)
\(9 \cdot {\color{red}2} = 18\)
\(\Rightarrow \frac{7}{9} = \frac{14}{18}\)
Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Erweiterungszahl von einem Erweiterungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider