Erweiterungszahl

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Erweiterungszahl ist.

Notwendiges Vorwissen: Brüche erweitern

Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert,
heißt Erweiterungszahl.

Im Zusammenhang mit der Erweiterungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:

a) Bruch erweitern mit gegebener Erweiterungszahl

Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner mit der Erweiterungszahl multiplizieren

\[\frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9}\]

b) Erweiterungszahl berechnen

Der Bruch \(\frac{1}{4}\) wurde auf den Bruch \(\frac{2}{8}\) erweitert.
Mit welcher Erweiterungszahl wurde der Bruch erweitert?

Lösung

Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren

\(2:1 = {\color{red}2}\)

Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren

\(8:4 = {\color{red}2}\)

c) Zähler des erweiterten Bruchs bestimmen

\[\frac{5}{9} = \frac{?}{27}\]

Lösung

1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Erweiterungszahl)

\(27:9 = {\color{red}3}\)

2.) Gegebenen Zähler mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Zähler)

\(5 \cdot {\color{red}3} = 15\)

\(\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{15}{27}\)

d) Nenner des erweiterten Bruchs bestimmen

\[\frac{7}{9} = \frac{14}{?}\]

Lösung

1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Erweiterungszahl)

\(14:7 = {\color{red}2}\)

2.) Gegebenen Nenner mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Nenner)

\(9 \cdot {\color{red}2} = 18\)

\(\Rightarrow \frac{7}{9} = \frac{14}{18}\)

Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Erweiterungszahl von einem Erweiterungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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