Potenzgesetze

Um mit Potenzen rechnen zu können, müssen wir die Potenzgesetze beherrschen.

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Potenz? 

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors:

$$ \underbrace{x \cdot x \cdot \,\dots\, \cdot x}_{n \text{ Faktoren}} = x^n $$

Dabei ist $\boldsymbol{x}$ die Basis und $\boldsymbol{n}$ der Exponent der Potenz $\boldsymbol{x^n}$ (sprich: x hoch n).

Beispiel 1 

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 $$

Beispiel 2 

$$ 3 \cdot 3 = 3^2 $$

Potenzgesetze im Überblick 

Im Folgenden werden alle Potenzgesetze mithilfe von Beispielen vorgestellt.

Gleiche Basis 

Multiplikation mit gleicher Basis

$$ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

Beispiel 3 

$$ 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 $$

Beispiel 4 

$$ 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^6 = 5^{2+3+6} = 5^{11} $$

Division mit gleicher Basis

$$ x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Beispiel 5 

$$ \frac{2^4}{2^2} = 2^{4-2} = 2^2 $$

Beispiel 6 

$$ \frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1} $$

Potenzen potenzieren

$$ \left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b} $$

In Worten: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Beispiel 7 

$$ \left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $$

Beispiel 8 

$$ \left(5^3\right)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9 $$

Gleicher Exponent 

Multiplikation mit gleichem Exponenten

$$ a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n $$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Vorteil ist, dass man auf diese Weise nur noch einmal – anstatt zweimal – potenzieren muss, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

Beispiel 9 

$$ 2^4 \cdot 3^4 = \left(2 \cdot 3\right)^4 $$

Beispiel 10 

$$ 4^3 \cdot 5^3 = \left(4 \cdot 5\right)^3 $$

Division mit gleichem Exponenten

$$ a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Vorteil ist, dass man auf diese Weise nur noch einmal – anstatt zweimal – potenzieren muss, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

Beispiel 11 

$$ 3^2 : 4^2 = \frac{3^2}{4^2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 $$

Beispiel 12 

$$ 8^5 : 4^5 = \frac{8^5}{4^5} = \left(\frac{8}{4}\right)^5 $$

Negative Zahlen potenzieren 

Für Potenzen mit negativen Basen merken wir uns folgende Regeln:

  1. Ist der Exponent gerade, verschwindet das negative Vorzeichen.
  2. Ist der Exponent ungerade, bleibt das negative Vorzeichen.

Warum das so ist? Ganz einfach: Minus mal Minus ergibt Plus.

Beispiel 13 

$$ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 = 2^2 $$

Beispiel 14 

$$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$

Die Klammern dürfen nicht vergessen werden!

$$ -2^2 \neq (-2)^2 $$

Das negative Vorzeichen in $-2^2$ gehört zur ganzen Potenz und nicht nur zur Basis. Deshalb gilt: $-2^2 = -4$, denn wir könnten dafür ja auch $(-1) \cdot 2^2 = -4$ schreiben. Leider halten sich nicht alle Taschenrechner an diese Regel. Berechne jetzt mit deinem Taschenrechner $-2^2$ und $(-2)^2$ und vergleiche die Ergebnisse.

Besondere Exponenten 

Exponent = 0

$$ x^0 = 1 $$

Beispiel 15 

$$ 5^0 = 1 $$

Beispiel 16 

$$ (-7)^0 = 1 $$

Negative Exponenten

$$ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $$

Beispiel 17 

$$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} $$

Beispiel 18 

$$ 5^{-7} = \frac{1}{5^7} $$

Brüche als Exponenten

$$ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} $$

Beispiel 19 

$$ 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3} $$

Beispiel 20 

$$ 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} $$

$$ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} $$

Beispiel 21 

$$ 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4} $$

Beispiel 22 

$$ 2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5} $$

$$ x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} $$

Beispiel 23 

$$ 2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} $$

Beispiel 24 

$$ 2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} $$

Im Kapitel Wurzeln erfährst du mehr über Potenzen mit Brüchen als Exponenten.

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