Wurzeln
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzeln sind.
Problemstellung
In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}\) betrachtet.
Dabei waren die Basis \({\color{green}b}\) und der Exponent \({\color{green}n}\) bekannt.
Gesucht war der Potenzwert \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100\)
In der Wurzelrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form \({\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}\).
Dabei sind der Exponent \({\color{green}n}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) gegeben.
Gesucht ist die Basis \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10\)
Man bezeichnet die gesuchte Basis \(x\) auch mit \(\sqrt[n]{a}\) (= n-te Wurzel aus a).
Definition einer Wurzel
\(x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt[n]{a}\)
Sprechweise:
\(\underbrace{x^n = a}_{\text{x hoch n gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \sqrt[n]{a}}_{\text{x gleich n-te Wurzel aus a}}\)
Bezeichnungen
- \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel
- \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
- \(a\): Radikand
- \(n\): Wurzelexponent
Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.
Bei Quadratwurzeln (\(n = 2\)) lässt man den Wurzelexponenten meist weg.
Beispiel
\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)
Wurzelexponenten größer als 2 muss man immer dazu schreiben.
Beispiel
\(\sqrt[3]{9}\)
Häufig spricht man einfach von „der Wurzel“, auch wenn man die Quadratwurzel meint.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.
In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.
Für einen negativen Radikanden ist das Radizieren nicht definiert.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
\(\sqrt{-9} = \text{nicht definiert}\)
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens.
Bedeutung 1: Wenn man eine Zahl \(x\) mit \(n\) potenziert und anschließend
die \(n\)-te Wurzel berechnet, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl \(x\).
Beispiel
1. Potenzieren: \({\color{green}4}^2 = 16\)
2. Radizieren: \(\sqrt{16} = {\color{green}4}\)
Bedeutung 2: Wenn man von einer Zahl \(x\) die \(n\)-te Wurzel berechnet und anschließend
mit \(n\) potenziert, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl \(x\).
Beispiel
1. Radizieren: \(\sqrt{{\color{green}25}} = 5\)
2. Potenzieren: \(5^2 = {\color{green}25}\)
Wurzeln in Potenzen umformen
Jede Wurzel kann durch eine Potenz
mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden.
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Beispiele
\(\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = 3^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[5]{4^3} = 4^{\frac{3}{5}}\)
\(\sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{2}{3}}\)
Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
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