Wurzeln
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzeln sind.
Problemstellung
In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}\) betrachtet.
Dabei waren die Basis \({\color{green}b}\) und der Exponent \({\color{green}n}\) bekannt.
Gesucht war der Potenzwert \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100\)
In der Wurzelrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form \({\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}\).
Dabei sind der Exponent \({\color{green}n}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) gegeben.
Gesucht ist die Basis \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10\)
Man bezeichnet die gesuchte Basis \(x\) auch mit \(\sqrt[n]{a}\) (= n-te Wurzel aus a).
Definition einer Wurzel
\(x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt[n]{a}\)
Sprechweise:
\(\underbrace{x^n = a}_{\text{x hoch n gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \sqrt[n]{a}}_{\text{x gleich n-te Wurzel aus a}}\)
Bezeichnungen
- \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel
- \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
- \(a\): Radikand
- \(n\): Wurzelexponent
Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.
Bei Quadratwurzeln (\(n = 2\)) lässt man den Wurzelexponenten meist weg.
Beispiel
\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)
Wurzelexponenten größer als 2 muss man immer dazu schreiben.
Beispiel
\(\sqrt[3]{9}\)
Häufig spricht man einfach von „der Wurzel“, auch wenn man die Quadratwurzel meint.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.
In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.
Für einen negativen Radikanden ist das Radizieren nicht definiert.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
\(\sqrt{-9} = \text{nicht definiert}\)
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens.
Bedeutung 1: Wenn man eine Zahl \(x\) mit \(n\) potenziert und anschließend
die \(n\)-te Wurzel berechnet, erhält wieder die ursprüngliche Zahl \(x\).
Beispiel
1. Potenzieren: \({\color{green}4}^2 = 16\)
2. Radizieren: \(\sqrt{16} = {\color{green}4}\)
Bedeutung 2: Wenn man von einer Zahl \(x\) die \(n\)-te Wurzel berechnet und anschließend
mit \(n\) potenziert, erhält wieder die ursprüngliche Zahl \(x\).
Beispiel
1. Radizieren: \(\sqrt{{\color{green}25}} = 5\)
2. Potenzieren: \(5^2 = {\color{green}25}\)
Wurzeln in Potenzen umformen
Jede Wurzel kann durch eine Potenz
mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden.
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Beispiele
\(\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = 3^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[5]{4^3} = 4^{\frac{3}{5}}\)
\(\sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{2}{3}}\)
Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
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Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
| Aufgaben mit Lösungen | |
| Wurzelrechnung - Aufgaben | [eBook zum Download] |
Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider