Wurzeln

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzeln sind.

Definition 

In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}$ betrachtet. Dabei waren die Basis ${\color{green}b}$ und der Exponent ${\color{green}n}$ bekannt. Gesucht war der Potenzwert ${\color{red}x}$.

Beispiel 1 

$$ 10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100 $$

In der Wurzelrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form ${\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}$. Dabei sind der Exponent ${\color{green}n}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ gegeben. Gesucht ist die Basis ${\color{red}x}$.

Beispiel 2 

$$ x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10 $$

Man bezeichnet die gesuchte Basis $x$ auch mit $\sqrt[n]{a}$ (sprich: n-te Wurzel aus a).

Definition einer Wurzel

$$ x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt[n]{a} $$

Sprechweise

$$ \underbrace{x^n = a}_{\text{x hoch n gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \sqrt[n]{a}}_{\text{x gleich n-te Wurzel aus a}} $$

Bezeichnungen

  • $\sqrt[n]{a}$: Wurzel
  • $\sqrt{\phantom{2}}$: Wurzelzeichen
  • $a$: Radikand
  • $n$: Wurzelexponent
        Gilt $n = 2$, spricht man von Quadratwurzeln.
        Gilt $n = 3$, spricht man von Kubikwurzeln.

Bei Quadratwurzeln ($n = 2$) lässt man den Wurzelexponenten meist weg.

Beispiel 3 

$$ \sqrt[2]{9} = \sqrt{9} $$

Wurzelexponenten größer als 2 muss man immer dazu schreiben.

Beispiel 4 

$$ \sqrt[3]{9} $$

Häufig spricht man einfach von der Wurzel, auch wenn man die Quadratwurzel meint.

Beispiel 5 

$$ \sqrt{9} = 3 $$

Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.

In der Gleichung $\sqrt[n]{a} = x$ bezeichnet man $x$ als Wurzelwert.

Beispiel 6 

$$ \sqrt{9} = 3 $$

3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.

Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als Wurzelziehen oder Radizieren.

Beispiel 7 

Ziehe die Wurzel aus $\sqrt{9}$.

$$ \Rightarrow \sqrt{9} = 3 $$

Für einen negativen Radikanden ist das Radizieren nicht definiert.

Beispiel 8 

Ziehe die Wurzel aus $\sqrt{-9}$.

$$ \Rightarrow \sqrt{-9} = \text{nicht definiert} $$

Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens.

Bedeutung 1: Wenn man eine Zahl $x$ mit $n$ potenziert und anschließend die $n$-te Wurzel berechnet, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl $x$.

Beispiel 9 

  1. Potenzieren: ${\color{green}4}^2 = 16$
  2. Radizieren: $\sqrt{16} = {\color{green}4}$

Bedeutung 2: Wenn man von einer Zahl $x$ die $n$-te Wurzel berechnet und anschließend mit $n$ potenziert, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl $x$.

Beispiel 10 

  1. Radizieren: $\sqrt{{\color{green}25}} = 5$
  2. Potenzieren: $5^2 = {\color{green}25}$

Wurzeln in Potenzen umformen 

Jede Wurzel kann durch eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden:

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

Beispiel 11 

$$ \sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = 3^{\frac{1}{2}} $$

Beispiel 12 

$$ \sqrt[5]{4^3} = 4^{\frac{3}{5}} $$

Beispiel 13 

$$ \sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{2}{3}} $$

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

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