Wurzeln
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzeln sind.
Definition
In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}$ betrachtet.
Dabei waren die Basis ${\color{green}b}$ und der Exponent ${\color{green}n}$ bekannt.
Gesucht war der Potenzwert ${\color{red}x}$.
In der Wurzelrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form ${\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}$.
Dabei sind der Exponent ${\color{green}n}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ gegeben.
Gesucht ist die Basis ${\color{red}x}$.
Man bezeichnet die gesuchte Basis $x$ auch mit $\sqrt[n]{a}$ (sprich: n-te Wurzel aus a
).
Definition einer Wurzel
$$ x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt[n]{a} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{x^n = a}_{\text{x hoch n gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \sqrt[n]{a}}_{\text{x gleich n-te Wurzel aus a}} $$
Bezeichnungen
$\sqrt[n]{a}$: Wurzel$\sqrt{\phantom{2}}$: Wurzelzeichen$a$: Radikand$n$: Wurzelexponent
Gilt$n = 2$, spricht man von Quadratwurzeln.
Gilt$n = 3$, spricht man von Kubikwurzeln.
Bei Quadratwurzeln ($n = 2$) lässt man den Wurzelexponenten meist weg.
Wurzelexponenten größer als 2 muss man immer dazu schreiben.
Häufig spricht man einfach von der Wurzel
, auch wenn man die Quadratwurzel meint.
$$ \sqrt{9} = 3 $$
Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.
In der Gleichung $\sqrt[n]{a} = x$ bezeichnet man $x$ als Wurzelwert.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als Wurzelziehen
oder Radizieren
.
Für einen negativen Radikanden ist das Radizieren nicht definiert.
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens.
Bedeutung 1: Wenn man eine Zahl $x$ mit $n$ potenziert und anschließend
die $n$-te Wurzel berechnet, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl $x$.
Bedeutung 2: Wenn man von einer Zahl $x$ die $n$-te Wurzel berechnet und anschließend
mit $n$ potenziert, erhält man wieder die ursprüngliche Zahl $x$.
Wurzeln in Potenzen umformen
Jede Wurzel kann durch eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden:
$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$
Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
