Wurzeln
gleichnamig machen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem gleichnamig Machen von Wurzeln.
Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Zwei Wurzeln sind gleichnamig,
wenn ihre Wurzelexponenten übereinstimmen.
Beispiel
\(\sqrt[{\color{green}5}]{4}\) und \(\sqrt[{\color{green}5}]{3}\) sind gleichnamig.
\(\sqrt[{\color{red}5}]{4}\) und \(\sqrt[{\color{red}6}]{3}\) sind ungleichnamig.
Vorgehensweise
- kgV der Wurzelexponenten bestimmen
- Wurzelexponenten auf kgV erweitern
Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiel 1
Mach die Wurzeln \(\sqrt[{\color{blue}3}]{5}\) und \(\sqrt[{\color{blue}4}]{6}\) gleichnamig.
1.) kgV der Wurzelexponenten bestimmen
\(\text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12}\)
2.) Wurzelexponenten auf kgV erweitern
\(\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625}\)
\(\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216}\)
Beispiel 2
Mach die Wurzeln \(\sqrt{7}\) und \(\sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}\) gleichnamig.
Beachte: \(\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}\)
1.) kgV der Wurzelexponenten bestimmen
\(\text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6}\)
2.) Wurzelexponenten auf kgV erweitern
\(\sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343}\)
\(\sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625}\)
Anwendung
Das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Wurzeln zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann multipliziert oder dividiert werden.
Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider