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Wurzeln
gleichnamig machen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem gleichnamig Machen von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Zwei Wurzeln sind gleichnamig,
wenn ihre Wurzelexponenten übereinstimmen.

Beispiel

\(\sqrt[{\color{green}5}]{4}\) und \(\sqrt[{\color{green}5}]{3}\) sind gleichnamig.

\(\sqrt[{\color{red}5}]{4}\) und \(\sqrt[{\color{red}6}]{3}\) sind ungleichnamig.

Vorgehensweise

  1. kgV der Wurzelexponenten bestimmen
  2. Wurzelexponenten auf kgV erweitern

Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel 1

Mach die Wurzeln \(\sqrt[{\color{blue}3}]{5}\) und \(\sqrt[{\color{blue}4}]{6}\) gleichnamig.

1.) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12}\)

2.) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625}\)

\(\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216}\)

Beispiel 2

Mach die Wurzeln \(\sqrt{7}\) und \(\sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}\) gleichnamig.

Beachte: \(\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}\)

1.) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6}\)

2.) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343}\)

\(\sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625}\)

Anwendung

Das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Wurzeln zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann multipliziert oder dividiert werden.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
Wurzelrechnung - Aufgaben [eBook zum Download]

Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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