Ungleichnamige Wurzeln

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ungleichnamige Wurzeln sind.

Wurzeln mit unterschiedlichem Wurzelexponenten heißen ungleichnamig.

Beispiele

\(\sqrt[{\color{red}3}]{4}\) und \(\sqrt[{\color{red}4}]{5}\) sind ungleichnamig.

\(\sqrt[{\color{red}7}]{8}\) und \(\sqrt[{\color{red}8}]{9}\) sind ungleichnamig.

\(\sqrt[{\color{red}5a}]{b+c}\) und \(\sqrt[{\color{red}5b}]{a-c}\) sind ungleichnamig.

\(\sqrt[{\color{red}7x}]{x(x-1)}\) und \(\sqrt[{\color{red}4x}]{x(x-2)}\) sind ungleichnamig.

\(\sqrt[{\color{green}6}]{5}\) und \(\sqrt[{\color{green}6}]{4}\) sind gleichnamig.
(Begründung: Die Wurzelexponenten der beiden Wurzeln sind gleich!)

Für die Multiplikation (> Wurzeln multiplizieren) und die Division (> Wurzeln dividieren) von Wurzeln ist es Voraussetzung, dass die Wurzeln gleichnamig sind. Ungleichnamige Wurzeln müssen erst gleichnamig gemacht werden (> Wurzeln gleichnamig machen).

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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