Wurzeln dividieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Dividieren von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Voraussetzung

Es gibt keine Voraussetzung. Eine Division ist immer möglich.

a) Gleichnamige Wurzeln dividieren

Vorgehensweise

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert,
indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

Der Wurzelexponent verändert sich beim Dividieren nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)

\[\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}} = \sqrt{1}\]

\[\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4}\]

Beispiele mit höheren Wurzelexponenten

\[\frac{\sqrt[{\color{green}3}]{4}}{\sqrt[{\color{green}3}]{2}} = \sqrt[{\color{green}3}]{\frac{4}{2}} = \sqrt[{\color{green}3}]{2}\]

\[\frac{\sqrt[{\color{green}5}]{3}}{\sqrt[{\color{green}5}]{3}} = \sqrt[{\color{green}5}]{\frac{3}{3}} = \sqrt[{\color{green}5}]{1}\]

\[\frac{\sqrt[{\color{green}4}]{20}}{\sqrt[{\color{green}4}]{5}} = \sqrt[{\color{green}4}]{\frac{20}{5}} = \sqrt[{\color{green}4}]{4}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln dividieren

Vorgehensweise

  1. Wurzeln gleichnamig machen
    1.1 kgV der Wurzelexponenten bestimmen
    1.2 Wurzelexponenten auf kgV erweitern
  2. Wurzeln dividieren

Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel 1

Fasse \(\frac{\sqrt[{\color{blue}3}]{5}}{\sqrt[{\color{blue}4}]{6}}\) zusammen.

1.1) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12}\)

1.2) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625}\)

\(\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216}\)

2.) Wurzeln dividieren

\[\frac{\sqrt[{\color{green}12}]{625}}{\sqrt[{\color{green}12}]{216}} = \sqrt[{\color{green}12}]{\frac{625}{216}}\]

Beispiel 2

Fasse \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}}\) zusammen.

Beachte: \(\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}\)

1.1) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6}\)

1.2) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343}\)

\(\sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625}\)

2.) Wurzeln dividieren

\[\frac{\sqrt[{\color{green}6}]{343}}{\sqrt[{\color{green}6}]{390625}} = \sqrt[{\color{green}6}]{\frac{343}{390625}}\]

Hinweis: Einige der Lösungen, die wir in den obigen Beispielen berechnet haben, können noch weiter vereinfacht werden. Wie das geht, erfährst du in einem anderen Kapitel.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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