Wurzeln subtrahieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Wurzeln.
Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Voraussetzung
Es können nur Wurzeln mit
- gleichem Radikanden und
- gleichem Wurzelexponenten
subtrahiert werden.
Vorgehensweise
Zwei Wurzeln werden subtrahiert,
indem man ihre Koeffizienten (hier: \(a\) und \(b\)) subtrahiert.
\(a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\)
Falls der Koeffizient gleich 1 ist, wird er meist weggelassen.
Statt \(1 \cdot \sqrt[n]{x}\) schreibt man also einfach \(\sqrt[n]{x}\).
Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)
\(6{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt{2}} = 3{\color{green}\sqrt{2}}\)
\(3{\color{green}\sqrt{5}} - {\color{green}\sqrt{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt{5}} = 2{\color{green}\sqrt{5}}\)
\({\color{green}\sqrt{3}} - {\color{green}\sqrt{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt{3}} = 0\)
\(6{\color{green}\sqrt{6}} - 3{\color{green}\sqrt{6}} - 2{\color{green}\sqrt{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt{6}} = {\color{green}\sqrt{6}}\)
Beispiele mit höheren Wurzelexponenten
\(6{\color{green}\sqrt[3]{2}} - 3{\color{green}\sqrt[3]{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt[3]{2}} = 3\)
\(3{\color{green}\sqrt[7]{5}} - {\color{green}\sqrt[7]{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt[7]{5}} = 2\)
\({\color{green}\sqrt[5]{3}} - {\color{green}\sqrt[5]{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt[5]{3}} = 0\)
\(6{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 3{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 2{\color{green}\sqrt[4]{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt[4]{6}} = {\color{green}\sqrt[4]{6}}\)
Wann das Subtrahieren nicht möglich ist
In folgenden drei Fällen ist ein weiteres Zusammenfassen der Wurzeln nicht möglich:
a) unterschiedlicher Radikand
Beispiele
\(\sqrt[4]{{\color{red}3}} - \sqrt[4]{{\color{red}2}}\)
\(\sqrt[n]{{\color{red}a}} - \sqrt[n]{{\color{red}b}}\)
b) unterschiedlicher Wurzelexponent
Beispiele
\(\sqrt[{\color{red}5}]{3} - \sqrt[{\color{red}4}]{3}\)
\(\sqrt[{\color{red}n}]{a} - \sqrt[{\color{red}m}]{a}\)
c) unterschiedlicher Radikand und unterschiedlicher Wurzelexponent
Beispiele
\({\color{red}\sqrt[5]{3}} - {\color{red}\sqrt[4]{2}}\)
\({\color{red}\sqrt[n]{a}} - {\color{red}\sqrt[m]{b}}\)
Vergiss nicht: Das Subtrahieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die an der Subtraktion beteiligten Wurzeln den gleichen Radikanden und den gleichen Wurzelexponenten besitzen.
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Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
| Aufgaben mit Lösungen | |
| Wurzelrechnung - Aufgaben | [eBook zum Download] |
Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider