Wurzeln subtrahieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Voraussetzung

Es können nur Wurzeln mit

  • gleichem Radikanden und
  • gleichem Wurzelexponenten

subtrahiert werden.

Vorgehensweise

Zwei Wurzeln werden subtrahiert,
indem man ihre Koeffizienten (hier: \(a\) und \(b\)) subtrahiert.

\(a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\)

Falls der Koeffizient gleich 1 ist, wird er meist weggelassen.
Statt \(1 \cdot \sqrt[n]{x}\) schreibt man also einfach \(\sqrt[n]{x}\).

Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)

\(6{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt{2}} = 3{\color{green}\sqrt{2}}\)

\(3{\color{green}\sqrt{5}} - {\color{green}\sqrt{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt{5}} = 2{\color{green}\sqrt{5}}\)

\({\color{green}\sqrt{3}} - {\color{green}\sqrt{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt{3}} = 0\)

\(6{\color{green}\sqrt{6}} - 3{\color{green}\sqrt{6}} - 2{\color{green}\sqrt{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt{6}} = {\color{green}\sqrt{6}}\)

Beispiele mit höheren Wurzelexponenten

\(6{\color{green}\sqrt[3]{2}} - 3{\color{green}\sqrt[3]{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt[3]{2}} = 3\)

\(3{\color{green}\sqrt[7]{5}} - {\color{green}\sqrt[7]{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt[7]{5}} = 2\)

\({\color{green}\sqrt[5]{3}} - {\color{green}\sqrt[5]{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt[5]{3}} = 0\)

\(6{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 3{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 2{\color{green}\sqrt[4]{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt[4]{6}} = {\color{green}\sqrt[4]{6}}\)

Wann das Subtrahieren nicht möglich ist

In folgenden drei Fällen ist ein weiteres Zusammenfassen der Wurzeln nicht möglich:

a) unterschiedlicher Radikand

Beispiele

\(\sqrt[4]{{\color{red}3}} - \sqrt[4]{{\color{red}2}}\)

\(\sqrt[n]{{\color{red}a}} - \sqrt[n]{{\color{red}b}}\)

b) unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\(\sqrt[{\color{red}5}]{3} - \sqrt[{\color{red}4}]{3}\)

\(\sqrt[{\color{red}n}]{a} - \sqrt[{\color{red}m}]{a}\)

c) unterschiedlicher Radikand und unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\({\color{red}\sqrt[5]{3}} - {\color{red}\sqrt[4]{2}}\)

\({\color{red}\sqrt[n]{a}} - {\color{red}\sqrt[m]{b}}\)

Vergiss nicht: Das Subtrahieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die an der Subtraktion beteiligten Wurzeln den gleichen Radikanden und den gleichen Wurzelexponenten besitzen.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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