Wurzeln subtrahieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Wurzeln.
Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Voraussetzung
Es können nur Wurzeln mit
- gleichem Radikanden und
- gleichem Wurzelexponenten
subtrahiert werden.
Vorgehensweise
Zwei Wurzeln werden subtrahiert,
indem man ihre Koeffizienten (hier: \(a\) und \(b\)) subtrahiert.
\(a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\)
Falls der Koeffizient gleich 1 ist, wird er meist weggelassen.
Statt \(1 \cdot \sqrt[n]{x}\) schreibt man also einfach \(\sqrt[n]{x}\).
Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)
\(6{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt{2}} = 3{\color{green}\sqrt{2}}\)
\(3{\color{green}\sqrt{5}} - {\color{green}\sqrt{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt{5}} = 2{\color{green}\sqrt{5}}\)
\({\color{green}\sqrt{3}} - {\color{green}\sqrt{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt{3}} = 0\)
\(6{\color{green}\sqrt{6}} - 3{\color{green}\sqrt{6}} - 2{\color{green}\sqrt{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt{6}} = {\color{green}\sqrt{6}}\)
Beispiele mit höheren Wurzelexponenten
\(6{\color{green}\sqrt[3]{2}} - 3{\color{green}\sqrt[3]{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt[3]{2}} = 3{\color{green}\sqrt[3]{2}}\)
\(3{\color{green}\sqrt[7]{5}} - {\color{green}\sqrt[7]{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt[7]{5}} = 2{\color{green}\sqrt[7]{5}}\)
\({\color{green}\sqrt[5]{3}} - {\color{green}\sqrt[5]{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt[5]{3}} = 0\)
\(6{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 3{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 2{\color{green}\sqrt[4]{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt[4]{6}} = {\color{green}\sqrt[4]{6}}\)
Wann das Subtrahieren nicht möglich ist
In folgenden drei Fällen ist ein weiteres Zusammenfassen der Wurzeln nicht möglich:
a) unterschiedlicher Radikand
Beispiele
\(\sqrt[4]{{\color{red}3}} - \sqrt[4]{{\color{red}2}}\)
\(\sqrt[n]{{\color{red}a}} - \sqrt[n]{{\color{red}b}}\)
b) unterschiedlicher Wurzelexponent
Beispiele
\(\sqrt[{\color{red}5}]{3} - \sqrt[{\color{red}4}]{3}\)
\(\sqrt[{\color{red}n}]{a} - \sqrt[{\color{red}m}]{a}\)
c) unterschiedlicher Radikand und unterschiedlicher Wurzelexponent
Beispiele
\({\color{red}\sqrt[5]{3}} - {\color{red}\sqrt[4]{2}}\)
\({\color{red}\sqrt[n]{a}} - {\color{red}\sqrt[m]{b}}\)
Vergiss nicht: Das Subtrahieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die an der Subtraktion beteiligten Wurzeln den gleichen Radikanden und den gleichen Wurzelexponenten besitzen.
Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
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