Wurzeln addieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Addieren von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Voraussetzung

Es können nur Wurzeln mit

  • gleichem Radikanden und
  • gleichem Wurzelexponenten

addiert werden.

Vorgehensweise

Zwei Wurzeln werden addiert,
indem man ihre Koeffizienten (hier: \(a\) und \(b\)) addiert.

\(a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\)

Falls der Koeffizient gleich 1 ist, wird er meist weggelassen.
Statt \(1 \cdot \sqrt[n]{x}\) schreibt man also einfach \(\sqrt[n]{x}\).

Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)

\(6{\color{green}\sqrt{2}} + 3{\color{green}\sqrt{2}} = (6+3){\color{green}\sqrt{2}} = 9{\color{green}\sqrt{2}}\)

\(3{\color{green}\sqrt{5}} + {\color{green}\sqrt{5}} = (3+1){\color{green}\sqrt{5}} = 4{\color{green}\sqrt{5}}\)

\({\color{green}\sqrt{3}} + {\color{green}\sqrt{3}} = (1+1){\color{green}\sqrt{3}} = 2{\color{green}\sqrt{3}}\)

\(6{\color{green}\sqrt{6}} + 3{\color{green}\sqrt{6}} + 2{\color{green}\sqrt{6}} = (6+3+2){\color{green}\sqrt{6}} = 11{\color{green}\sqrt{6}}\)

Beispiele mit höheren Wurzelexponenten

\(6{\color{green}\sqrt[3]{2}} + 3{\color{green}\sqrt[3]{2}} = (6+3){\color{green}\sqrt[3]{2}} = 9{\color{green}\sqrt[3]{2}}\)

\(3{\color{green}\sqrt[7]{5}} + {\color{green}\sqrt[7]{5}} = (3+1){\color{green}\sqrt[7]{5}} = 4{\color{green}\sqrt[7]{5}}\)

\({\color{green}\sqrt[5]{3}} + {\color{green}\sqrt[5]{3}} = (1+1){\color{green}\sqrt[5]{3}} = 2{\color{green}\sqrt[5]{3}}\)

\(6{\color{green}\sqrt[4]{6}} + 3{\color{green}\sqrt[4]{6}} + 2{\color{green}\sqrt[4]{6}} = (6+3+2){\color{green}\sqrt[4]{6}} = 11{\color{green}\sqrt[4]{6}}\)

Wann das Addieren nicht möglich ist

In folgenden drei Fällen ist ein weiteres Zusammenfassen der Wurzeln nicht möglich:

a) unterschiedlicher Radikand

Beispiele

\(\sqrt[4]{{\color{red}3}} + \sqrt[4]{{\color{red}2}}\)

\(\sqrt[n]{{\color{red}a}} + \sqrt[n]{{\color{red}b}}\)

b) unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\(\sqrt[{\color{red}5}]{3} + \sqrt[{\color{red}4}]{3}\)

\(\sqrt[{\color{red}n}]{a} + \sqrt[{\color{red}m}]{a}\)

c) unterschiedlicher Radikand und unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\({\color{red}\sqrt[5]{3}} + {\color{red}\sqrt[4]{2}}\)

\({\color{red}\sqrt[n]{a}} + {\color{red}\sqrt[m]{b}}\)

Vergiss nicht: Das Addieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die an der Addition beteiligten Wurzeln den gleichen Radikanden und den gleichen Wurzelexponenten besitzen.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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