Wurzeln multiplizieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Multiplizieren von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Voraussetzung

Das Produkt der Radikanden muss größer gleich Null sein (\(a \cdot b \geq 0\)).

a) Gleichnamige Wurzeln multiplizieren

Vorgehensweise

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert,
indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.

\(\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\)

Der Wurzelexponent verändert sich beim Multiplizieren nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)

\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}\)

\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9}\)

\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{30}\)

Beispiele mit höheren Wurzelexponenten

\(\sqrt[{\color{green}3}]{4} \cdot \sqrt[{\color{green}3}]{2} = \sqrt[{\color{green}3}]{4 \cdot 2} = \sqrt[{\color{green}3}]{8}\)

\(\sqrt[{\color{green}5}]{3} \cdot \sqrt[{\color{green}5}]{3} = \sqrt[{\color{green}5}]{3 \cdot 3} = \sqrt[{\color{green}5}]{9}\)

\(\sqrt[{\color{green}4}]{5} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{3} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{2} = \sqrt[{\color{green}4}]{5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt[{\color{green}4}]{30}\)

b) Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren

Vorgehensweise

  1. Wurzeln gleichnamig machen
    1.1 kgV der Wurzelexponenten bestimmen
    1.2 Wurzelexponenten auf kgV erweitern
  2. Wurzeln multiplizieren

Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel 1

Fasse \(\sqrt[{\color{blue}3}]{5} \cdot \sqrt[{\color{blue}4}]{6}\) zusammen.

1.1) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12}\)

1.2) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625}\)

\(\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216}\)

2.) Wurzeln multiplizieren

\(\sqrt[{\color{green}12}]{625} \cdot \sqrt[{\color{green}12}]{216} = \sqrt[{\color{green}12}]{625 \cdot 216} = \sqrt[{\color{green}12}]{135000}\)

Beispiel 2

Fasse \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}\) zusammen.

Beachte: \(\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}\)

1.1) kgV der Wurzelexponenten bestimmen

\(\text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6}\)

1.2) Wurzelexponenten auf kgV erweitern

\(\sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343}\)

\(\sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625}\)

2.) Wurzeln multiplizieren

\(\sqrt[{\color{green}6}]{343} \cdot \sqrt[{\color{green}6}]{390625} = \sqrt[{\color{green}6}]{343 \cdot 390625} = \sqrt[{\color{green}6}]{133984375}\)

Hinweis: Einige der Lösungen, die wir in den obigen Beispielen berechnet haben, können noch weiter vereinfacht werden. Wie das geht, erfährst du in einem anderen Kapitel.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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