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Prozentrechnung

In diesem Kapitel schauen wir uns die Prozentrechnung etwas genauer an.

Der Begriff „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen (pro centum) und heißt wörtlich übersetzt „von Hundert” oder etwas freier: „Hundertstel“. In der Prozentrechnung geht es also um das Rechnen mit Hundertsteln - aber hat das überhaupt eine Bedeutung im echten Leben?

Praktische Bedeutung

Prozentangaben werden verwendet, um Anteile an einem Ganzen anzugeben.

Beispiel

„70 % der Schüler an meiner Schule sind männlich.“
\(\Rightarrow\) Wir vergleichen hier die Zahl der männlichen Schüler mit der gesamten Schülerzahl.

Prozentangaben werden auch verwendet, um Zunahmen und Abnahmen anzugeben.

Beispiel

„Die Schülerzahl an meiner Schule ist um 20 % gestiegen.“
\(\Rightarrow\) Wir vergleichen hier die alte Schülerzahl mit der neuen Schülerzahl.

Zusammenfassend gilt, dass Prozentangaben immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen sind.

Grundlagen der Prozentrechnung

Vergleiche sind oft nur dann möglich, wenn man sich auf dieselbe Vergleichszahl bezieht,
d. h. als Brüche mit gleichem Nenner schreibt (> Brüche gleichnamig machen).

Beispiel

A: „In meiner Klasse haben in der letzten Prüfung \(\frac{2}{5}\) der Schüler eine 3 geschrieben.“
B: „Wirklich? In meiner Klasse waren es \(\frac{7}{20}\).“

Es lässt sich nicht sofort erkennen, ob \(\frac{2}{5}\) oder \(\frac{7}{20}\) größer ist.
Wenn wir die Brüche allerdings auf denselben Nenner bringen, erkennen wir, dass gilt:

\[\frac{8}{20} > \frac{7}{20} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} > \frac{7}{20}\]

Ist der Nenner 100, so spricht man von Prozent (\(\%\)).

Beispiel

\[\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\, \% \]

\[\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\, \% \]

Das Symbol \(\%\) (Prozent) ist eine abkürzende Schreibweise
für einen Bruch mit dem Nenner 100.

\[p\, \% = \frac{p}{100}\]

Beispiel

„\(\frac{16}{100}\) der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“
„\(16\, \%\) der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“

\(p\, \%\) bezeichnet man als Prozentsatz. \(p\) heißt Prozentzahl.

Beispiel

Prozentsatz: \(16\, \%\) \(\Rightarrow\) Prozentzahl: \(16\)

Wichtige Begriffe der Prozentrechnung

Prozentangaben sind immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen.

Beispiel

„51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.“
Hier wird die weibliche Bevölkerung Berlins mit der Gesamtbevölkerung Berlins verglichen.

Die Zahl, mit der etwas verglichen wird, heißt Grundwert \(G\).

Beispiel (Fortsetzung 1)

In unserem Beispiel ist die Gesamtbevölkerung Berlins der Grundwert.

Die Zahl, die verglichen wird, heißt Prozentwert \(W\).

Beispiel (Fortsetzung 2)

In unserem Beispiel ist die weibliche Bevölkerung Berlins der Prozentwert.

Der Vergleich selbst kann als Bruch \(\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}\) angegeben werden. Wird dieser Bruch auf den Nenner 100 erweitert, so heißt der dazugehörige Zähler Prozentzahl \(p\). Die abkürzende Schreibweise davon (d. h. der Zähler allein mit Prozentzeichen) heißt Prozentsatz \(p\, \%\).

\[\frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\, \%\]

Sind zwei der drei Größen (\(W\), \(G\), \(p\, \%\)) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.

a) Prozentwert berechnen

\[(1) \text{ Prozentwert } W = \text{Prozentsatz } p\, \% \cdot \text{ Grundwert } G\]

\[(2) \text{ Prozentwert } W = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} \cdot \text{ Grundwert } G\]

Beispiel

Eine Schulklasse hat 30 Schüler. 60 % davon sind weiblich.
Wie viele Schülerinnen hat die Klasse?

\[\begin{align*}
W
&= \frac{p}{100} \cdot G\\[5pt]
&= \frac{60}{100} \cdot 30\\[5pt]
&= 18
\end{align*}\]

In der Schulklasse sind 18 Schülerinnen.

b) Prozentsatz berechnen

\[(1) \text{ Prozentzahl } p = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\]

\[(2) \text{ Prozentsatz } p\, \% = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\, \%\]

Beispiel

Eine Schulklasse hat 30 Schüler. 18 davon sind weiblich.
Wie viel Prozent sind das?

\[\begin{align*}
p\, \%
&= \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= \frac{18}{30} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= 60\, \%
\end{align*}\]

60 % der Schüler sind weiblich.

c) Grundwert berechnen

\[(1) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W:\text{Prozentsatz } p\, \%\]

\[(2) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W \cdot \frac{100}{\text{Prozentzahl } p}\]

Beispiel

In einer Schulklasse sind 18 Schülerinnen. Das sind 60 % der Klasse.
Wie viele Schüler hat die Klasse insgesamt?

\[\begin{align*}
G
&= W \cdot \frac{100}{p}\\[5pt]
&= 18 \cdot \frac{100}{60}\\[5pt]
&= 30
\end{align*}\]

Die Klasse hat insgesamt 30 Schüler.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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