Prozentrechnung
In diesem Kapitel schauen wir uns die Prozentrechnung etwas genauer an.
Wortherkunft
Der Begriff Prozent
kommt aus dem Lateinischen (pro centum) und heißt wörtlich übersetzt von Hundert
oder etwas freier: Hundertstel
. In der Prozentrechnung geht es also um das Rechnen mit Hundertsteln.
Praktische Bedeutung
Prozentangaben werden verwendet, um Anteile an einem Ganzen anzugeben.
70 % der Schüler an meiner Schule sind männlich.
Wir vergleichen hier die Zahl der männlichen Schüler mit der gesamten Schülerzahl.
Prozentangaben werden auch verwendet, um Zunahmen und Abnahmen anzugeben.
Die Schülerzahl an meiner Schule ist um 20 % gestiegen.
Wir vergleichen hier die alte Schülerzahl mit der neuen Schülerzahl.
Prozentangaben sind also immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen.
Grundlagen der Prozentrechnung
Vergleiche sind oft nur dann möglich, wenn man sich auf dieselbe Vergleichszahl beziehen, d. h. als Brüche mit gleichem Nenner schreibt (Brüche gleichnamig machen).
A: In meiner Klasse haben in der letzten Prüfung
$\frac{2}{5}$ der Schüler eine 3 geschrieben.
B: Wirklich? In meiner Klasse waren es
$\frac{7}{20}$.
Es lässt sich nicht sofort erkennen, ob $\frac{2}{5}$ oder $\frac{7}{20}$ größer ist.
Wenn wir die Brüche allerdings auf denselben Nenner bringen, erkennen wir, dass gilt:
$$ \frac{8}{20} > \frac{7}{20} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} > \frac{7}{20} $$
Ist der Nenner $100$, so spricht man von Prozent ($\%$).
Das Prozentsymbol $\boldsymbol{\%}$ ist eine abkürzende Schreibweise für einen Bruch mit dem Nenner 100.
$$ p\ \% = \frac{p}{100} $$
$\frac{16}{100}$ der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.
$\Rightarrow$ $16\ \%$ der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.
$\boldsymbol{p\ \%}$ heißt Prozentsatz. $\boldsymbol{p}$ allein heißt Prozentzahl.
Wichtige Begriffe der Prozentrechnung
Prozentangaben sind immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen.
51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.
Hier wird die weibliche Bevölkerung Berlins mit der Gesamtbevölkerung Berlins verglichen.
Die Zahl, mit der etwas verglichen wird, heißt Grundwert $\boldsymbol{G}$.
51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.
Der Grundwert entspricht der Gesamtbevölkerung Berlins.
Die Zahl, die verglichen wird, heißt Prozentwert $\boldsymbol{W}$.
51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.
Der Prozentwert entspricht der weiblichen Bevölkerung Berlins.
Der Vergleich selbst kann als Bruch $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$ angegeben werden. Wird dieser Bruch auf den Nenner $100$ erweitert, so heißt der dazugehörige Zähler Prozentzahl $\boldsymbol{p}$. Die abkürzende Schreibweise davon (d. h. der Zähler allein mit Prozentzeichen) heißt Prozentsatz $\boldsymbol{p\ \%}$.
$$ \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\ \% $$
Sind zwei der drei Größen ($W$, $G$, $p\ \%$) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Prozentwert berechnen
$$ (1) \text{ Prozentwert } W = \text{Prozentsatz } p\ \% \cdot \text{ Grundwert } G $$
$$ (2) \text{ Prozentwert } W = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} \cdot \text{ Grundwert } G $$
Eine Schulklasse hat $30$ Schüler. $60\ \%$ davon sind weiblich.
Wie viele Schülerinnen hat die Klasse?
$$ \begin{align*} W &= \frac{p}{100} \cdot G \\[5px] &= \frac{60}{100} \cdot 30 \\[5px] &= 18 \end{align*} $$
In der Schulklasse sind $18$ Schülerinnen.
Prozentsatz berechnen
$$ (1) \text{ Prozentzahl } p = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100 $$
$$ (2) \text{ Prozentsatz } p\ \% = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\ \% $$
Eine Schulklasse hat $30$ Schüler. $18$ davon sind weiblich.
Wie viel Prozent sind das?
$$ \begin{align*} p\ \% &= \frac{W}{G} \cdot 100\ \% \\[5px] &= \frac{18}{30} \cdot 100\ \% \\[5px] &= 60\ \% \end{align*} $$
$60\ \%$ der Schüler sind weiblich.
Grundwert berechnen
$$ (1) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W:\text{Prozentsatz } p\ \% $$
$$ (2) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W \cdot \frac{100}{\text{Prozentzahl } p} $$
In einer Schulklasse sind $18$ Schülerinnen. Das sind $60\ \%$ der Klasse.
Wie viele Schüler hat die Klasse insgesamt?
$$ \begin{align*} G &= W \cdot \frac{100}{p} \\[5px] &= 18 \cdot \frac{100}{60} \\[5px] &= 30 \end{align*} $$
Die Klasse hat insgesamt $30$ Schüler.
Prozentrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:
| Prozentwert | $$W = \frac{p}{100} \cdot G$$ |
| Prozentsatz | $$p\ \% = \frac{W}{G} \cdot 100\ \%$$ |
| - Prozent | |
| - Promille | |
| Grundwert | $$G = W \cdot \frac{100}{p}$$ |
| Prozentuale Veränderung | $$\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}$$ |
| - Prozentuale Zunahme | $$G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}$$ |
| - Prozentuale Abnahme | $$G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}$$ |
| - Prozentfaktor | $$q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$$ |
| - Prozentpunkte | = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen |
Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.
