Prozentuale Zunahme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Zunahme ist.

Beispiel

Papa wog vor dem Urlaub 80 kg, hat dann aber 5 % zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg} = 80\text{ kg} + 4\text{ kg} = 84\text{ kg}\)

Eine prozentuale Zunahme ist die positive Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.

\[ \text{Anfangswert} + \text{prozentuale Zunahme} = \text{Endwert}\]

Beispiel (Fortsetzung)

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(80\text{ kg} \cdot (100\, \% + 5\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% + 5\, \%)\) als Wachstumsfaktor.

\[ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Wachstumsfaktor } q = \text{Endwert } G_{neu+}\]

Wachstumsfaktor in Prozentschreibweise: \(\,q = \left(100\, \% + p\, \%\right)\)
Wachstumsfaktor in Dezimalschreibweise: \(q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)\)

Aufgaben, in denen es um die prozentuale Zunahme geht, lassen sich leicht an Schüsselwörtern wie „Zunahme“, „Steigerung“, „Erhöhung“ oder „Gewinn“ identifizieren. Sind zwei der drei Größen (Anfangswert, Prozentfaktor, Endwert) bekannt, kann man die dritte berechnen. Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.

a) Endwert berechnen

\[G_{neu+} = G \cdot q\]

Beispiel

Ein Smartphone der Marke „Birne“ kostet 500 €.
Aufgrund der großen Nachfrage erhöht der Hersteller den Preis um 25 %.
Wie viel kostet das Smartphone nach der Preiserhöhung?

\[\begin{align*}
G_{neu+}
&= 500 \cdot \left(1 + \frac{25}{100}\right)\\[5pt]
&= 500 \cdot \left(1 + 0,25\right)\\[5pt]
&= 500 \cdot 1,25\\[5pt]
&= 625
\end{align*}\]

Nach der Preiserhöhung kostet das Smartphone 625 €.

b) Anfangswert berechnen

\[G = \frac{G_{neu+}}{q}\]

Beispiel

Ein Smartphone kostet nach einer 25%igen Erhöhung 625 €.
Wie viel hat das Smartphone vor der Preiserhöhung gekostet?

\[\begin{align*}
G
&= \frac{625}{\left(1 + \frac{25}{100}\right)}\\[5pt]
&= \frac{625}{\left(1 + 0,25\right)}\\[5pt]
&= \frac{625}{1,25}\\[5pt]
&= 500
\end{align*}\]

Vor der Preiserhöhung hat das Smartphone 500 € gekostet.

c) Prozentfaktor berechnen

\[q = \frac{G_{neu+}}{G}\]

Beispiel

Der Hersteller eines Smartphones erhöht den Preis von 500 € auf 625 €.
Auf wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

\[\begin{align*}
q
&= \frac{625}{500}\\[5pt]
&= 1,25
\end{align*}\]

Der Preis ist auf 125 % des ursprünglichen Preises gestiegen.

Die Berechnung des Prozentsatzes aus dem Prozentfaktor, lernst du im Kapitel Prozentfaktor.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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