Prozentfaktor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Prozentfaktor ist.

Beispiel 1

Papa wog vor dem Urlaub 80 kg, hat dann aber 5 % zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg} = 80\text{ kg} + 4\text{ kg} = 84\text{ kg}\)

Beispiel 2

Mama wog vor dem Urlaub 65 kg, hat dann aber 8 % abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg} = 65\text{ kg} - 5,2\text{ kg} = 59,8\text{ kg}\)

Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.

\[ \text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\]

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(80\text{ kg} \cdot (100\, \% + 5\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% + 5\, \%)\) als Prozentfaktor.

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(65\text{ kg} \cdot (100\, \% - 8\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% - 8\, \%)\) als Prozentfaktor.

\[ \text{Anfangswert} \cdot \text{Prozentfaktor} = \text{Endwert}\]

Prozentfaktor in Prozentschreibweise: \(\left(100\, \% \pm p\, \%\right)\)
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: \(\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)

Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 („Wachstumsfaktor“).

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% + 5\, \%) = 105\, \% = 1,05\)

Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 („Abnahmefaktor“).

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% - 8\, \%) = 92\, \% = 0,92\)

Prozentfaktor und Prozentsatz

Der Prozentsatz gibt an, um wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.

Beispiel

Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung um 20 %.
\(\Rightarrow\) Prozentsatz = 20 % = 0,2

Der Prozentfaktor gibt an, auf wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.

Beispiel

Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung auf 120 %.
\(\Rightarrow\) Prozentfaktor = 120 % = 1,2

a) Prozentfaktor berechnen (aus Prozentsatz)

Wenn der Prozentsatz \(p\, \%\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentfaktor \(q\) zu

Zunahme Abnahme
\(q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)\) \(q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)\)

Beispiel 1

Erhöhung um 30 %: \(p\, \% = 30\, \% \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 1 + 0,3 = 1,3\)

Beispiel 2

Senkung um 20 %: \(p\, \% = 20\, \% \, \, \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 1 - 0,2 = 0,8\)

b) Prozentsatz berechnen (aus Prozentfaktor)

Wenn der Prozentfaktor \(q\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentsatz \(p\, \%\) zu

Prozentfaktor > 1
Prozentfaktor < 1
\(p\, \% = q - 1\) \(p\, \% = 1 - q\)

Beispiel 1

Erhöhung auf 160 %: \(q = 1,6 \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1,6 - 1 = 0,6 = 60\, \%\)

Beispiel 2

Senkung auf 30 %: \(q = 0,3 \, \, \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1 - 0,3 = 0,7 = 70\, \%\)

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!