Prozentfaktor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Prozentfaktor ist.
Beispiel 1
Papa wog vor dem Urlaub 80 kg, hat dann aber 5 % zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?
\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg} = 80\text{ kg} + 4\text{ kg} = 84\text{ kg}\)
Beispiel 2
Mama wog vor dem Urlaub 65 kg, hat dann aber 8 % abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?
\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg} = 65\text{ kg} - 5,2\text{ kg} = 59,8\text{ kg}\)
Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.
\[ \text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\]
Beispiel 1 (Fortsetzung)
\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(80\text{ kg} \cdot (100\, \% + 5\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% + 5\, \%)\) als Prozentfaktor.
Beispiel 2 (Fortsetzung)
\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(65\text{ kg} \cdot (100\, \% - 8\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% - 8\, \%)\) als Prozentfaktor.
\[ \text{Anfangswert} \cdot \text{Prozentfaktor} = \text{Endwert}\]
Prozentfaktor in Prozentschreibweise: \(\left(100\, \% \pm p\, \%\right)\)
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: \(\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 („Wachstumsfaktor“).
Beispiel 1 (Fortsetzung)
\(q = (100\, \% + 5\, \%) = 105\, \% = 1,05\)
Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 („Abnahmefaktor“).
Beispiel 2 (Fortsetzung)
\(q = (100\, \% - 8\, \%) = 92\, \% = 0,92\)
Prozentfaktor und Prozentsatz
Der Prozentsatz gibt an, um wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.
Beispiel
Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung um 20 %.
\(\Rightarrow\) Prozentsatz = 20 % = 0,2
Der Prozentfaktor gibt an, auf wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.
Beispiel
Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung auf 120 %.
\(\Rightarrow\) Prozentfaktor = 120 % = 1,2
a) Prozentfaktor berechnen (aus Prozentsatz)
Wenn der Prozentsatz \(p\, \%\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentfaktor \(q\) zu
| Zunahme | Abnahme |
| \(q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)\) | \(q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)\) |
Beispiel 1
Erhöhung um 30 %: \(p\, \% = 30\, \% \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 1 + 0,3 = 1,3\)
Beispiel 2
Senkung um 20 %: \(p\, \% = 20\, \% \, \, \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 1 - 0,2 = 0,8\)
b) Prozentsatz berechnen (aus Prozentfaktor)
Wenn der Prozentfaktor \(q\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentsatz \(p\, \%\) zu
| Prozentfaktor > 1 |
Prozentfaktor < 1 |
| \(p\, \% = q - 1\) | \(p\, \% = 1 - q\) |
Beispiel 1
Erhöhung auf 160 %: \(q = 1,6 \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1,6 - 1 = 0,6 = 60\, \%\)
Beispiel 2
Senkung auf 30 %: \(q = 0,3 \, \, \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1 - 0,3 = 0,7 = 70\, \%\)
Prozentrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:
| Prozentrechnung | |
| > Prozentwert | \[W = \frac{p}{100} \cdot G\] |
| > Prozentsatz | \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\] |
| >> Prozent | |
| >> Promille | |
| > Grundwert | \[G = W \cdot \frac{100}{p}\] |
| Prozentuale Veränderung | \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\) |
| > Prozentuale Zunahme | \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\) |
| > Prozentuale Abnahme | \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\) |
| > Prozentfaktor | \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\) |
| > Prozentpunkte | = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen |
Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.
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