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Prozentuale Veränderung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Veränderung ist.

Beispiel 1

Papa wog vor dem Urlaub 80 kg, hat dann aber 5 % zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg} = 80\text{ kg} + 4\text{ kg} = 84\text{ kg}\)

Beispiel 2

Mama wog vor dem Urlaub 65 kg, hat dann aber 8 % abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg} = 65\text{ kg} - 5,2\text{ kg} = 59,8\text{ kg}\)

Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.

\[ \text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\]

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(80\text{ kg} \cdot (100\, \% + 5\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% + 5\, \%)\) als Prozentfaktor.

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(65\text{ kg} \cdot (100\, \% - 8\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% - 8\, \%)\) als Prozentfaktor.

\[ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Prozentfaktor } q = \text{Endwert } G_{neu}\]

Prozentfaktor in Prozentschreibweise: \(\,q = \left(100\, \% \pm p\, \%\right)\)
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)

Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 („Wachstumsfaktor“).

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% + 5\, \%) = 105\, \% = 1,05\)

Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 („Abnahmefaktor“).

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% - 8\, \%) = 92\, \% = 0,92\)

I) Prozentuale Veränderung: Zunahme

\[\text{Endwert } G_{neu+} = \text{Anfangswert } G \cdot \underbrace{\left(1 + \frac{p}{100}\right)}_{\text{Wachstumsfaktor}}\]

Beispiel

Tomaten der Marke „Tomato Gold“ kosten normalerweise 2 € je kg.
Aufgrund einer schlechten Ernte erhöht sich der Preis um 10 %.
Wie viel kosten die Tomaten nach der Preiserhöhung?

\[\begin{align*}
G_{neu+}
&= 2 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)\\
&= 2 \cdot \left(1 + 0,1\right)\\
&= 2 \cdot {\fcolorbox{green}{}{\(1,1\)}} \qquad {\color{green}\leftarrow \text{Wachstumsfaktor (q > 1)}}\\
&= 2,2
\end{align*}\]

Die Tomaten kosten nach der Preiserhöhung 2,20 € je kg.

II) Prozentuale Veränderung: Abnahme

\[\text{Endwert } G_{neu-} = \text{Anfangswert } G \cdot \underbrace{\left(1 - \frac{p}{100}\right)}_{\text{Abnahmefaktor}}\]

Beispiel

Tomaten der Marke „Tomato Gold“ kosten normalerweise 2 € je kg.
Aufgrund einer sehr guten Ernte sinkt der Preis um 10 %.
Wie viel kosten die Tomaten nach der Preissenkung?

\[\begin{align*}
G_{neu-}
&= 2 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right)\\
&= 2 \cdot \left(1 - 0,1\right)\\
&= 2 \cdot {\fcolorbox{red}{}{\(0,9\)}} \qquad {\color{red}\leftarrow \text{Abnahmefaktor (q < 1)}}\\
&= 1,8
\end{align*}\]

Die Tomaten kosten nach der Preissenkung 1,80 € je kg.

Besonderheiten prozentualer Veränderungen

a) Prozentuale Zunahme und Abnahme um denselben Prozentsatz

Wenn ein Anfangswert um \(p\, \%\) erhöht und danach um denselben Prozentsatz wieder gesenkt wird, führt dies - entgegen der Intuition - nicht zu dem ursprünglichen Anfangswert. Das gilt auch, wenn zuerst um \(p\, \%\) gesenkt und anschließend um denselben Prozentsatz erhöht wird.

Beispiel

Der Preis eines 50 € teuren Produktes steigt um 10 %.

\[\begin{align*}
G_{neu+}
&= 50 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)\\
&= 50 \cdot \left(1 + 0,1\right)\\
&= 50 \cdot {\fcolorbox{green}{}{\(1,1\)}} \qquad {\color{green}\leftarrow \text{10%ige Erhöhung}}\\
&= 55
\end{align*}\]

Das Produkt kostet nach der Erhöhung 55 €. Wir reduzieren den Preis um 10 %.

\[\begin{align*}
G_{neu-}
&= 55 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right)\\
&= 55 \cdot \left(1 - 0,1\right)\\
&= 55 \cdot {\fcolorbox{red}{}{\(0,9\)}} \qquad {\color{red}\leftarrow \text{10%ige Senkung}}\\
&= 49,5
\end{align*}\]

Das Produkt kostet jetzt 49,50 € (und nicht etwa wieder 50 €, wie man vermuten könnte).

b) Prozentuale Veränderung eines Prozentsatzes

Die Änderung eines Prozentsatzes kann in Prozent oder in Prozentpunkten angegeben werden.

Beispiel

Die Partei XYZ erreichte bei der letzten Wahl 20 %,
bei der aktuellen Wahl 30 % der Wählerstimmen.

Die Formulierung „Die Partei XYZ hat 10 % mehr Stimmen“ ist falsch!
Ein 10%iger Anstieg würde nur zu einem Prozentsatz von 22 % führen:
\(20 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 20 \cdot 1,1 = 22\)

Die absolute Änderung zweier Prozentsätze gibt man in Prozentpunkten an.

Beispiel (Fortsetzung)

\(30 - 20 = 10\)

Die Partei XYZ hat bei der aktuellen Wahl
10 Prozentpunkte mehr als bei der letzten Wahl.

Die relative Änderung zweier Prozentsätze gibt man in Prozent an.

Beispiel (Fortsetzung)

Grundwert \(G\): \(20\) (= ursprünglicher Prozentsatz)
Prozentwert \(W\): \(10\) (= absolute Änderung)

\(p = \frac{W}{G} = \frac{10}{20} = 0,5\)

Die Partei XYZ hat bei der aktuellen Wahl
50 % mehr Stimmen als bei der letzten Wahl.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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