Grundwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Grundwert ist und wie man ihn berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
Einordnung
Aus dem Grundlagenkapitel kennen wir die Formel
$$ \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\ \% $$
Bedeutung der Größen
- Prozentwert
$W$: die Größe des Anteils - Grundwert
$G$: das Ganze, also$100\ \%$ - Prozentsatz
$p\ \%$: das Verhältnis$\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$(umgerechnet in Hundertstel)
Sind zwei der drei Größen ($W$, $G$, $p\ \%$) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass der Grundwert $G$ gesucht ist.
Formel
Mithilfe von Äquivalenzumformungen lösen wir die Gleichung $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $G$ auf:
$$ \begin{align*} \frac{W}{G} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{p}{100} &= \frac{W}{G} &&{\color{gray}|\, \cdot G} \\[5px] \frac{p}{100} \cdot G &= W &&{\color{gray}|\, : \frac{p}{100} \;\hat{=}\; \cdot \, \frac{100}{p}} \\[5px] G &= W \cdot \frac{100}{p} \end{align*} $$
Als Ergebnis erhalten wir die Formel zur Berechnung des Grundwerts:
$$ (1) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W \cdot \frac{100}{\text{Prozentzahl } p} $$
Wegen $p\ \% = \frac{p}{100}$ können wir alternativ schreiben:
$$ (2) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W:\text{Prozentsatz } p\ \% $$
Tipp: Wenn du die Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $G$ umstellen kannst, musst du dir die obigen beiden Formeln nicht merken.
Beispiele
$150$ Schüler spielen ein Musikinstrument. Das sind $30\ \%$ aller Schüler der Schule.
Wie viele Schüler hat die Schule insgesamt?
Gegeben: $W = 150$ und $p\ \% = 30\ \%$
Gesucht: $G$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} G &= W : p\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 150 : 30\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 150 : \frac{30}{100} \\[5px] &= 150 \cdot \frac{100}{30} \\[5px] &= 500 \end{align*} $$
Insgesamt hat die Schule $500$ Schüler.
$204$ Kinobesucher sind männlich. Das sind $85\ \%$ aller Kinobesucher eines Actionsfilms.
Wie viele Kinobesucher schauen den Film insgesamt?
Gegeben: $W = 204$ und $p\ \% = 85\ \%$
Gesucht: $G$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} G &= W : p\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 204 : 85\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 204 : \frac{85}{100} \\[5px] &= 204 \cdot \frac{100}{85} \\[5px] &= 240 \end{align*} $$
Insgesamt schauen den Film $240$ Kinobesucher.
$864$ Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein. Das sind $27\ \%$ aller Dorfbewohner.
Wie viele Einwohner hat das Dorf insgesamt?
Gegeben: $W = 864$ und $p\ \% = 27\ \%$
Gesucht: $G$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} G &= W : p\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 864 : 27\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{G} &= 864 : \frac{27}{100} \\[5px] &= 864 \cdot \frac{100}{27} \\[5px] &= 3200 \end{align*} $$
Insgesamt hat das Dorf $3200$ Einwohner.
