Grundwert

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Grundwert ist und wie man ihn berechnet.

Grundlagen

Prozentangaben sind immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen.

Beispiel

„51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.“
Hier wird die weibliche Bevölkerung Berlins mit der Gesamtbevölkerung Berlins verglichen.

Die Zahl, mit der etwas verglichen wird, heißt Grundwert \(G\).

Beispiel (Fortsetzung 1)

In unserem Beispiel ist die Gesamtbevölkerung Berlins der Grundwert.

Die Zahl, die vergleichen wird, heißt Prozentwert \(W\).

Beispiel (Fortsetzung 2)

In unserem Beispiel ist die weibliche Bevölkerung Berlins der Prozentwert.

Der Vergleich selbst kann als Bruch \(\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}\) angegeben werden. Wird dieser Bruch auf den Nenner 100 erweitert, so heißt der dazugehörige Zähler Prozentzahl \(p\). Die abkürzende Schreibweise davon (d. h. der Zähler allein mit Prozentzeichen) heißt Prozentsatz \(p\, \%\).

\[\frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\, \%\]

Bedeutung der Größen

  • Prozentwert \(W\): die Größe des Anteils
  • Grundwert \(G\): das Ganze, also 100 %
  • Prozentsatz \(p\, \%\): das Verhältnis \(\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}\)
                                  (umgerechnet in Hundertstel)

Sind zwei der drei Größen (\(W\), \(G\), \(p\, \%\)) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.

Grundwert: Herleitung der Formel

Notwendiges Vorwissen: Äquivalenzumformungen

Wir wollen die Gleichung \(\frac{W}{G} = \frac{p}{100}\) nach \(G\) auflösen:

\[\begin{align*}
\frac{W}{G} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\cdot G}\\[5pt]
W &= \frac{p}{100} \cdot G &&{\color{gray}|: \frac{p}{100} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{100}{p}}\\[5pt]
W \cdot \frac{100}{p} &= G
\end{align*}\]

Als Ergebnis erhalten wir die Formel zur Berechnung des Grundwerts:

\[(1) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W \cdot \frac{100}{\text{Prozentzahl } p}\]

Wegen \(p\, \% = \frac{p}{100}\) können wir alternativ schreiben:

\[(2) \text{ Grundwert } G = \text{Prozentwert } W:\text{Prozentsatz } p\, \%\]

Diese beiden Formeln musst du dir nicht merken! Es reicht, wenn du die Formel \[\frac{W}{G} = \frac{p}{100} = p\, \%\] kennst und sie im Bedarfsfall nach der gesuchten Größe (z. B. \(G\)) umstellen kannst.

Grundwert berechnen

Aufgabe 1

150 Schüler spielen ein Musikinstrument. Das sind 30 % aller Schüler der Schule.
Wie viele Schüler hat die Schule insgesamt?

Lösung

Gegeben: \(W = 150\) und \(p\, \% = 30\, \%\)
Gesucht: \(G\)

\[\begin{align*}
G
&= W : p\, \%\\[5pt]
&= 150 : 30\, \%\\[5pt]
&= 150 : \frac{30}{100}\\[5pt]
&= 150 \cdot \frac{100}{30}\\[5pt]
&= 500
\end{align*}\]

Insgesamt hat die Schule 500 Schüler.

Aufgabe 2

204 Kinobesucher sind männlich. Das sind 85 % aller Kinobesucher eines Actionsfilms.
Wie viele Kinobesucher schauen den Film insgesamt?

Lösung

Gegeben: \(W = 204\) und \(p\, \% = 85\, \%\)
Gesucht: \(G\)

\[\begin{align*}
G
&= W : p\, \%\\[5pt]
&= 204 : 85\, \%\\[5pt]
&= 204 : \frac{85}{100}\\[5pt]
&= 204 \cdot \frac{100}{85}\\[5pt]
&= 240
\end{align*}\]

Insgesamt schauen den Film 240 Kinobesucher.

Aufgabe 3

864 Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein. Das sind 27 % aller Dorfbewohner.
Wie viele Einwohner hat das Dorf insgesamt?

Lösung

Gegeben: \(W = 864\) und \(p\, \% = 27\, \%\)
Gesucht: \(G\)

\[\begin{align*}
G
&= W : p\, \%\\[5pt]
&= 864 : 27\, \%\\[5pt]
&= 864 : \frac{27}{100}\\[5pt]
&= 864 \cdot \frac{100}{27}\\[5pt]
&= 3200
\end{align*}\]

Insgesamt hat das Dorf 3200 Einwohner.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!