Zinseszinsrechnung

In diesem Kapitel schauen wir uns die Grundlagen der Zinseszinsrechnung an.

Notwendiges Vorwissen: Prozentuale Veränderung / Prozentuale Zunahme

Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.

Zinsen spielen hauptsächlich beim Leihen und Verleihen von Geld eine Rolle.

Beispiel

Derjenige, der sich Geld leiht (der Schuldner), zahlt Zinsen.
Derjenige, der Geld verleiht (der Gläubiger), bekommt Zinsen.

Die beliebteste Form der Geldanlage in Deutschland ist das Sparbuch. Das funktioniert so:
Du leihst der Bank dein gespartes Geld. Die Bank zahlt dir dafür am Jahresende Zinsen.
Wenn du die Zinsen auf deinem Sparbuch lässt, zahlt die Bank dafür später auch Zinsen.
Die Zinsen auf Zinsen bezeichnet man als Zinseszinsen.

Beispiel

Du legst 1000 € bei einem Zinssatz von 10 % für 3 Jahre fest an.

\(\begin{align*}
K_1
&= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\\[5pt]
&= 1000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)\\[5pt]
&= 1000 \cdot 1,1\\[5pt]
&= 1100
\end{align*}\)

Nach einem Jahr hast du 1100 € auf dem Sparbuch.

\(\begin{align*}
K_2
&= K_1 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\\[5pt]
&= 1100 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)\\[5pt]
&= 1100 \cdot 1,1\\[5pt]
&= 1210
\end{align*}\)

Nach zwei Jahren hast du 1210 € auf dem Sparbuch.

\(\begin{align*}
K_3
&= K_2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\\[5pt]
&= 1210 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)\\[5pt]
&= 1210 \cdot 1,1\\[5pt]
&= 1331
\end{align*}\)

Nach drei Jahren hast du 1331 € auf dem Sparbuch.

Das Beispiel hat gezeigt, dass durch den „Zinseszinseffekt“ die Zinsen exponentiell steigen.

Beispiel (Fortsetzung)

Zinsen für das 1. Jahr = 100 €

Zinsen für das 2. Jahr = 110 €

Zinsen für das 3. Jahr = 121 €

Herleitung der Zinseszinsformel

Das Kapital \(K_n\), das man nach \(n\) Jahren hat, lässt sich auch direkt berechnen:

\[K_1 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\]

\[K_2 = \underbrace{K_1}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\]

\[K_3 = \underbrace{K_2}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3\]

Zinseszinsformel

\[K_n = K_0 \cdot {\underbrace{\left(1 + \frac{p}{100}\right)}_{q}}^n\]

Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung einer prozentualen Zunahme.

Begriff in der Zinseszinsrechnung Begriff in der Prozentrechnung
Endkapital \(K_n\) Endwert \(G_{neu+}\)
Anfangskapital \(K_0\) Anfangswert \(G\)
Aufzinsungsfaktor \(q\) Wachstumsfaktor \(q\)
\(\Rightarrow K_n = K_0 \cdot q^n\) \(\Rightarrow G_{neu+} = G \cdot q^n\)

Im Kapitel zur Zinseszinsformel schauen wir uns das Thema noch genauer an.

Zinsrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du alles zum Thema Zinsen:

Zinsrechnung Grundlagen der Zinsrechnung
> Allgemeine Zinsformel \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\)
Zinseszinsrechnung Grundlagen der Zinseszinsrechnung
> Zinseszinsformel \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\)

Zins- und Zinseszinsrechnung gehören zu den Anwendungen der Prozentrechnung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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