Zinseszinsformel

Sind drei der vier Größen (\(K_n\), \(K_0\), \(p\, \%\), \(n\)) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die Zinseszinsformel nach der gesuchten Größe um.

a) Endkapital berechnen

Beispiel

„Sie legen 5.000 Euro zu 10 % p.a. (lat. per annum = pro Jahr) an.
Wie groß ist Ihr Endkapital, wenn die jährlichen Guthabenzinsen angespart
und nach drei Jahren das Anfangskapital zuzüglich der Zinsen ausgezahlt wird?“

Gegeben: \(K_0 = 5000\) €, \(p\, \% = 10\, \%\) und \(n = 3\) Jahre
Gesucht: \(K_n\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[K_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 = 6655\]

Das Endkapital beträgt nach drei Jahren 6655 €.

b) Anfangskapital berechnen

Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(K_0\) auflösen:

\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n && {\color{gray}|: \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}\\[5pt]
\frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} &= K_0
\end{align*}\]

Beispiel

„Wie viel Geld muss ein Vater zum 10. Geburtstag seines Sohnes anlegen, wenn dieser an seinem 18. Geburtstag über 10.000 € verfügen soll? Die Bank bietet dem Vater einen Zinssatz von 5 % pro Jahr.“

Gegeben: \(K_n = 10000\) €, \(p = 5\, \%\) und \(n = 8\) Jahre
Gesucht: \(K_0\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[K_0 = \frac{10000}{\left(1 + \frac{5}{100}\right)^8} \approx 6768,39\]

Der Vater muss am 10. Geburtstag seines Sohnes 6768,39 € anlegen.

c) Periodenzinssatz berechnen

Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(p\) auflösen:

\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|: K_0}\\[5pt]
\frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\sqrt[n]{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} &= 1 + \frac{p}{100} &&{\color{gray}| - 1}\\[5pt]
\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}| \cdot 100}\\[5pt]
\left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 &= p
\end{align*}\]

Beispiel

„Bei welchem Zinssatz wird aus 20.000 € in vier Jahren 29.282 €?“

Gegeben: \(K_n = 29282\) €, \(K_0 = 20000\) € und \(n = 4\) Jahre
Gesucht: \(p\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[p = \left(\sqrt[4]{\frac{29282}{20000}} - 1\right) \cdot 100 = 10\]

Bei einem Zinssatz von 10 % wird aus 20.000 € in vier Jahren 29.282 €.

d) Laufzeit berechnen

Notwendiges Vorwissen: Exponentialgleichungen / Logarithmusgesetze

Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(n\) auflösen:

\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|: K_0}\\[5pt]
\frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln \frac{K_n}{K_0} &= \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz: } \ln a^x = x \cdot \ln a}\\[5pt]
\ln \frac{K_n}{K_0} &= n \cdot \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right) &&{\color{gray}|: \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)}\\[5pt]
\frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} &= n
\end{align*}\]

Beispiel

„Nach wie vielen Jahren führt eine Geldanlage von 50.000 € bei einem
Zinssatz von 20 % p.a. zu einem Endkapital in Höhe von 124.416 €?“

Gegeben: \(K_n = 124416\) €, \(K_0 = 50000\) € und \(p = 20\, \%\)
Gesucht: \(n\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[n = \frac{\ln \frac{124416}{50000}}{\ln \left(1 + \frac{20}{100}\right)} = 5\]

Nach 5 Jahren wird aus 50.000 € ein Betrag von 124.416 € bei einem Zinssatz von 20 %.