Zinseszinsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Zinseszinsformel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Grundlagen der Zinsrechnung
- Grundlagen der Zinseszinsrechnung
Einordnung
Mithilfe der Zinseszinsformel berechnet man, über wie viel Kapital ein Anleger in einem Zeitpunkt verfügt. Dabei werden sowohl Zins- als auch Zinseszinseffekte berücksichtigt.
Zinseszinsformel
$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$
Symbolverzeichnis
$K_n$= Endkapital$K_0$= Anfangskapital$p$= Zinssatz (in Prozent)$n$= Laufzeit (meist Jahre)
Sind drei der vier Größen ($K_n$, $K_0$, $p\ \%$, $n$) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die Zinseszinsformel nach der gesuchten Größe um.
Endkapital berechnen
$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$
Du legst $5.000\ \textrm{€}$ zu $10\ \%$ p.a. (lat. per annum = pro Jahr) an.
Wie groß ist dein Endkapital, wenn die jährlichen Guthabenzinsen angespart und nach drei Jahren das Anfangskapital zuzüglich der Zinsen ausgezahlt wird?
Gegeben: $K_0 = 5000$ €, $p\ \% = 10\ \%$ und $n = 3$ Jahre
Gesucht: $K_n$
Formel aufschreiben
$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{K_n} = 5000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{K_n} = 6655 $$
Das Endkapital beträgt nach drei Jahren $6.655\ \textrm{€}$.
Anfangskapital berechnen
Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $K_0$ auflösen:
$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n && {\color{gray}|\, : \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} \\[5px] \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} &= K_0 \end{align*} $$
$$ K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} $$
Wie viel Geld muss ein Vater zum 10. Geburtstag seines Sohnes anlegen, wenn dieser an seinem 18. Geburtstag über $10.000\ \textrm{€}$ verfügen soll? Die Bank bietet dem Vater einen Zinssatz von $5\ \%$ pro Jahr.
Gegeben: $K_n = 10000$ €, $p = 5\ \%$ und $n = 8$ Jahre
Gesucht: $K_0$
Formel aufschreiben
$$ K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{K_0} = \frac{10000}{\left(1 + \frac{5}{100}\right)^8} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{K_0} \approx 6768{,}39 $$
Der Vater muss am 10. Geburtstag seines Sohnes $6.768{,}39\ \textrm{€}$ anlegen.
Periodenzinssatz berechnen
Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $p$ auflösen:
$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, : K_0} \\[5px] \frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, \sqrt[n]{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} &= 1 + \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, - 1} \\[5px] \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, \cdot 100} \\[5px] \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 &= p \end{align*} $$
$$ p = \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 $$
Bei welchem Zinssatz wird aus $20.000\ \textrm{€}$ in vier Jahren $29.282\ \textrm{€}$?
Gegeben: $K_n = 29282$ €, $K_0 = 20000$ € und $n = 4$ Jahre
Gesucht: $p$
Formel aufschreiben
$$ p = \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{p} = \left(\sqrt[4]{\frac{29282}{20000}} - 1\right) \cdot 100 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{p} = 10 $$
Bei einem Zinssatz von $10\ \%$ wird aus $20.000\ \textrm{€}$ in vier Jahren $29.282\ \textrm{€}$.
Laufzeit berechnen
Notwendiges Vorwissen: Exponentialgleichungen / Logarithmusgesetze
Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $n$ auflösen:
$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, : K_0} \\[5px] \frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \ln \frac{K_n}{K_0} &= \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz: } \ln a^x = x \cdot \ln a} \\[5px] \ln \frac{K_n}{K_0} &= n \cdot \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right) &&{\color{gray}|\, : \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} \\[5px] \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} &= n \end{align*} $$
$$ n = \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} $$
Nach wie vielen Jahren führt eine Geldanlage von $50.000\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $20\ \%$ p.a. zu einem Endkapital in Höhe von $124.416\ \textrm{€}$?
Gegeben: $K_n = 124416$ €, $K_0 = 50000$ € und $p = 20\ \%$
Gesucht: $n$
Formel aufschreiben
$$ n = \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{n} = \frac{\ln \frac{124416}{50000}}{\ln \left(1 + \frac{20}{100}\right)} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{n} = 5 $$
Nach $5$ Jahren wird aus $50.000\ \textrm{€}$ ein Betrag von $124.416\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $20\ \%$.
