Zinseszinsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Zinseszinsformel etwas genauer an.
Notwendiges Vorwissen: Zinseszinsrechnung
Mit Hilfe der Zinseszinsformel berechnet man, über wie viel Kapital ein Anleger in einem Zeitpunkt verfügt. Dabei werden sowohl Zins- als auch Zinseszinseffekte berücksichtigt.
Zinseszinsformel
\[K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]
Dabei gilt:
- \(K_n\) = Endkapital
- \(K_0\) = Anfangskapital
- \(p\) = Zinssatz (in Prozent)
- \(n\) = Laufzeit (meist Jahre)
Zinseszinsrechnung - Video
In diesem Mathe Video (9:11 min) wird dir Zinseszinsformel ausführlich erläutert.
Sind drei der vier Größen (\(K_n\), \(K_0\), \(p\, \%\), \(n\)) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die Zinseszinsformel nach der gesuchten Größe um.
a) Endkapital berechnen
\[K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]
Beispiel
„Sie legen 5.000 Euro zu 10 % p.a. (lat. per annum = pro Jahr) an.
Wie groß ist Ihr Endkapital, wenn die jährlichen Guthabenzinsen angespart
und nach drei Jahren das Anfangskapital zuzüglich der Zinsen ausgezahlt wird?“
Gegeben: \(K_0 = 5000\) €, \(p\, \% = 10\, \%\) und \(n = 3\) Jahre
Gesucht: \(K_n\)
Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt
\[K_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 = 6655\]
Das Endkapital beträgt nach drei Jahren 6655 €.
b) Anfangskapital berechnen
Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(K_0\) auflösen:
\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n && {\color{gray}|: \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}\\[5pt]
\frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} &= K_0
\end{align*}\]
\[K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}\]
Beispiel
„Wie viel Geld muss ein Vater zum 10. Geburtstag seines Sohnes anlegen, wenn dieser an seinem 18. Geburtstag über 10.000 € verfügen soll? Die Bank bietet dem Vater einen Zinssatz von 5 % pro Jahr.“
Gegeben: \(K_n = 10000\) €, \(p = 5\, \%\) und \(n = 8\) Jahre
Gesucht: \(K_0\)
Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt
\[K_0 = \frac{10000}{\left(1 + \frac{5}{100}\right)^8} \approx 6768,39\]
Der Vater muss am 10. Geburtstag seines Sohnes 6768,39 € anlegen.
c) Periodenzinssatz berechnen
Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(p\) auflösen:
\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|: K_0}\\[5pt]
\frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\sqrt[n]{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} &= 1 + \frac{p}{100} &&{\color{gray}| - 1}\\[5pt]
\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}| \cdot 100}\\[5pt]
\left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 &= p
\end{align*}\]
\[p = \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100\]
Beispiel
„Bei welchem Zinssatz wird aus 20.000 € in vier Jahren 29.282 €?“
Gegeben: \(K_n = 29282\) €, \(K_0 = 20000\) € und \(n = 4\) Jahre
Gesucht: \(p\)
Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt
\[p = \left(\sqrt[4]{\frac{29282}{20000}} - 1\right) \cdot 100 = 10\]
Bei einem Zinssatz von 10 % wird aus 20.000 € in vier Jahren 29.282 €.
d) Laufzeit berechnen
Notwendiges Vorwissen: Exponentialgleichungen / Logarithmusgesetze
Wir müssen die Gleichung \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) nach \(n\) auflösen:
\[\begin{align*}
K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|: K_0}\\[5pt]
\frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln \frac{K_n}{K_0} &= \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz: } \ln a^x = x \cdot \ln a}\\[5pt]
\ln \frac{K_n}{K_0} &= n \cdot \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right) &&{\color{gray}|: \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)}\\[5pt]
\frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} &= n
\end{align*}\]
\[n = \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)}\]
Beispiel
„Nach wie vielen Jahren führt eine Geldanlage von 50.000 € bei einem
Zinssatz von 20 % p.a. zu einem Endkapital in Höhe von 124.416 €?“
Gegeben: \(K_n = 124416\) €, \(K_0 = 50000\) € und \(p = 20\, \%\)
Gesucht: \(n\)
Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt
\[n = \frac{\ln \frac{124416}{50000}}{\ln \left(1 + \frac{20}{100}\right)} = 5\]
Nach 5 Jahren wird aus 50.000 € ein Betrag von 124.416 € bei einem Zinssatz von 20 %.
Zinsrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln erfährst du alles zum Thema Zinsen:
Zinsrechnung | Grundlagen der Zinsrechnung |
> Allgemeine Zinsformel | \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) |
Zinseszinsrechnung | Grundlagen der Zinseszinsrechnung |
> Zinseszinsformel | \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) |
Zins- und Zinseszinsrechnung gehören zu den Anwendungen der Prozentrechnung.
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