Zinseszinsformel

In diesem Kapitel schauen wir uns die Zinseszinsformel etwas genauer an.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Mithilfe der Zinseszinsformel berechnet man, über wie viel Kapital ein Anleger in einem Zeitpunkt verfügt. Dabei werden sowohl Zins- als auch Zinseszinseffekte berücksichtigt.

Zinseszinsformel

$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$

Symbolverzeichnis

  • $K_n$ = Endkapital
  • $K_0$ = Anfangskapital
  • $p$ = Zinssatz (in Prozent)
  • $n$ = Laufzeit (meist Jahre)

Sind drei der vier Größen ($K_n$, $K_0$, $p\ \%$, $n$) bekannt, kann man die vierte berechnen. Dazu stellt man die Zinseszinsformel nach der gesuchten Größe um.

Endkapital berechnen 

$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$

Beispiel 1 

Du legst $5.000\ \textrm{€}$ zu $10\ \%$ p.a. (lat. per annum = pro Jahr) an. Wie groß ist dein Endkapital, wenn die jährlichen Guthabenzinsen angespart und nach drei Jahren das Anfangskapital zuzüglich der Zinsen ausgezahlt wird?

Gegeben: $K_0 = 5000$ €, $p\ \% = 10\ \%$ und $n = 3$ Jahre
Gesucht: $K_n$

Formel aufschreiben

$$ K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{K_n} = 5000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{K_n} = 6655 $$

Das Endkapital beträgt nach drei Jahren $6.655\ \textrm{€}$.

Anfangskapital berechnen 

Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $K_0$ auflösen:

$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n && {\color{gray}|\, : \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} \\[5px] \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} &= K_0 \end{align*} $$

$$ K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} $$

Beispiel 2 

Wie viel Geld muss ein Vater zum 10. Geburtstag seines Sohnes anlegen, wenn dieser an seinem 18. Geburtstag über $10.000\ \textrm{€}$ verfügen soll? Die Bank bietet dem Vater einen Zinssatz von $5\ \%$ pro Jahr.

Gegeben: $K_n = 10000$ €, $p = 5\ \%$ und $n = 8$ Jahre
Gesucht: $K_0$

Formel aufschreiben

$$ K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{K_0} = \frac{10000}{\left(1 + \frac{5}{100}\right)^8} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{K_0} \approx 6768{,}39 $$

Der Vater muss am 10. Geburtstag seines Sohnes $6.768{,}39\ \textrm{€}$ anlegen.

Periodenzinssatz berechnen 

Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $p$ auflösen:

$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, : K_0} \\[5px] \frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, \sqrt[n]{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} &= 1 + \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, - 1} \\[5px] \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, \cdot 100} \\[5px] \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 &= p \end{align*} $$

$$ p = \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 $$

Beispiel 3 

Bei welchem Zinssatz wird aus $20.000\ \textrm{€}$ in vier Jahren $29.282\ \textrm{€}$?

Gegeben: $K_n = 29282$ €, $K_0 = 20000$ € und $n = 4$ Jahre
Gesucht: $p$

Formel aufschreiben

$$ p = \left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1\right) \cdot 100 $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{p} = \left(\sqrt[4]{\frac{29282}{20000}} - 1\right) \cdot 100 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{p} = 10 $$

Bei einem Zinssatz von $10\ \%$ wird aus $20.000\ \textrm{€}$ in vier Jahren $29.282\ \textrm{€}$.

Laufzeit berechnen 

Notwendiges Vorwissen: Exponentialgleichungen / Logarithmusgesetze

Wir müssen die Gleichung $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ nach $n$ auflösen:

$$ \begin{align*} K_n &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}|\, : K_0} \\[5px] \frac{K_n}{K_0} &= \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \ln \frac{K_n}{K_0} &= \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz: } \ln a^x = x \cdot \ln a} \\[5px] \ln \frac{K_n}{K_0} &= n \cdot \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right) &&{\color{gray}|\, : \ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} \\[5px] \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} &= n \end{align*} $$

$$ n = \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} $$

Beispiel 4 

Nach wie vielen Jahren führt eine Geldanlage von $50.000\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $20\ \%$ p.a. zu einem Endkapital in Höhe von $124.416\ \textrm{€}$?

Gegeben: $K_n = 124416$ €, $K_0 = 50000$ € und $p = 20\ \%$
Gesucht: $n$

Formel aufschreiben

$$ n = \frac{\ln \frac{K_n}{K_0}}{\ln \left(1 + \frac{p}{100}\right)} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{n} = \frac{\ln \frac{124416}{50000}}{\ln \left(1 + \frac{20}{100}\right)} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{n} = 5 $$

Nach $5$ Jahren wird aus $50.000\ \textrm{€}$ ein Betrag von $124.416\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $20\ \%$.

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