Abzinsung

Durch Abzinsung wird unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins der heute Wert eines zukünftigen Geldbetrages bestimmt. Das Ergebnis einer Abzinsung bezeichnet man als Barwert.

\(c_0 = c_t \cdot (1+i)^{-t}\)

  • \(c_0\) = Wert der Geldanlage heute (= Barwert)
  • \(c_t\) = Wert der Geldanlage im Jahr t
  • \(i\) = Zinssatz in Dezimalschreibweise (z.B. 8% = 0,08)
  • \(t\) = Laufzeit der Geldanlage (in Jahren)

Abzinsung - Video

In diesem Mathe Video (6:23 min) wird dir ausführlich erläutert, was man in der Finanzmathematik unter Abzinsung versteht und wie man abzinst.

Abzinsung - Aufgaben

Beispiel 1

Peter möchte in einem Jahr 5250 Euro (= zukünftiger Wert) auf seinem Sparbuch haben. Welchen Betrag muss er heute (= Barwert) anlegen, wenn sich sein Guthaben jährlich mit 5% verzinst?

\(c_0 = c_1 \cdot (1+i)^{-t}\)

  • \(c_0\) = Wert der Geldanlage heute (= Barwert)
  • \(c_1\) = Wert der Geldanlage in einem Jahr
  • \(i\) = Zinssatz in Dezimalschreibweise (z.B. 8% = 0,08)
  • \(t\) = Laufzeit der Geldanlage (in Jahren)

Setzen wir entsprechend der Aufgabenstellung \(c_1 = 5250\), \(i = 0,05\) und \(t = 1\) in die obige Formel ein, so erhalten wir

\(c_0 = 5250 \cdot (1+0,05)^{-1} = 5000\)

Antwort: Peter muss heute 5000 Euro anlegen, um in einem Jahr 5250 Euro auf seinem Sparbuch zu haben.

Mit der obigen Rechnung haben wir nichts anderes gemacht, als die Zinsen (= 250 Euro) herausgerechnet, die er für 5000 Euro bei einem Zinssatz von 5% (bei einer Laufzeit von einem Jahr) bekommt.

Beispiel 2

Stefanie möchte in zwei Jahren 10404 Euro (= zukünftiger Wert) auf ihrem Sparbuch haben. Welchen Betrag muss sie heute (= Barwert) anlegen, wenn sich ihr Guthaben jährlich mit 2% verzinst?

\(c_0 = c_2 \cdot (1+i)^{-t}\)

  • \(c_0\) = Wert der Geldanlage heute (= Barwert)
  • \(c_2\) = Wert der Geldanlage in zwei Jahren
  • \(i\) = Zinssatz in Dezimalschreibweise (z.B. 8% = 0,08)
  • \(t\) = Laufzeit der Geldanlage (in Jahren)

Setzen wir entsprechend der Aufgabenstellung \(c_1 = 10404\), \(i = 0,02\) und \(t = 2\) in die obige Formel ein, so erhalten wir

\(c_0 = 10404 \cdot (1+0,02)^{-2} = 10000\)

Antwort: Stefanie muss heute 10000 Euro anlegen, um in zwei Jahren 10404 Euro auf ihrem Sparbuch zu haben.

Mit der obigen Rechnung wurde Folgendes aus den 10404 Euro herausgerechnet, um den Barwert zu erhalten:

  1. Zinsen im ersten Jahr = \(10000 \cdot 0,02 = 200\) Euro
  2. Zinsen im zweiten Jahr = \(10000 \cdot 0,02 = 200\) Euro
  3. Zinseszinsen im zweiten Jahr (für die Zinsen des ersten Jahres) = \(200 \cdot 0,02 = 4\)

Zusammenhänge

Häufig ist die Abzinsungsformel folgendermaßen vereinfacht

\(q^{-t} = (1+i)^{-t}\)

Dabei bezeichnet man \(q^{-t}\) als den Abzinsungsfaktor.

Zwischen Aufzinsung, Abzinsung, Endwert und Barwert gilt folgender Zusammenhang:

  • Endwert = \(q^t \cdot\) Barwert
    -> ist der Barwert gegeben, erhält man den Endwert durch Aufzinsung

  • Barwert = \(q^{-t} \cdot\) Endwert
    -> ist der Endwert gegeben, erhält man den Barwert durch Abzinsung
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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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