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Exponentialgleichungen

In diesem Kapitel lernen wir Exponentialgleichungen kennen.

Notwendiges Vorwissen: Potenzgesetze und Logarithmusgesetze

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung,
in der die Variable im Exponenten einer Potenz steht.

Exponentialgleichungen lösen

Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Exponentialgleichungen an.
Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht.

a) Lösung durch Exponentenvergleich

\(b^{f(x)} = b^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x)\)

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel 1

\(\begin{align*}
2^x &= 2 &&{\color{gray}|\text{ Konstante als Potenz schreiben}}\\[5pt]
2^x &= 2^1 &&{\color{orange}|\text{ Exponentenvergleich}}\\[5pt]
x &= 1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{1\}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
2^x &= 1 &&{\color{gray}|\text{ 1 als Potenz schreiben}}\\[5pt]
2^x &= 2^0 &&{\color{orange}|\text{ Exponentenvergleich}}\\[5pt]
x &= 0 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{0\}
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
2^x & = -1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{\}
\end{align*}\)

bla bla

Beispiel 4

\(\begin{align*}
2^x &= 8 &&{\color{gray}|\text{ Auf die gleiche Basis umformen}}\\[5pt]
2^x &= 2^3 &&{\color{orange}|\text{ Exponentenvergleich}}\\[5pt]
x &= 3 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{3\}
\end{align*}\)

Beispiel 5

\(\begin{align*}
4^x &= 32 &&{\color{gray}|\text{ Auf die gleiche Basis umformen}}\\[5pt]
\left(2^2\right)^x &= 2^5\\[5pt]
2^{2x} &= 2^5 &&{\color{orange}|\text{ Exponentenvergleich}}\\[5pt]
2x &= 5 &&{\color{gray}|:2}\\[5pt]
x &= \frac{5}{2} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{\frac{5}{2}\}
\end{align*}\)

b) Lösung durch Logarithmieren

\(b^{f(x)} = c \quad \Rightarrow \quad f(x) \cdot \log b = \log c \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{\log c}{\log b}\)

Beispiel

\(\begin{align*}
2^x &= 9 &&{\color{orange}|\text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\log 2^x &= \log 9 &&{\color{gray}|\text{ Exponent vorziehen}}\\[5px]
x \cdot \log 2 &= \log 9 &&{\color{gray}|: \log 2}\\[5px]
x &= \frac{\log 9}{\log 2} &&{\color{gray}| \text{ Taschenrechner!}}\\[5px]
x &\approx 3,1699 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{3,1699\}
\end{align*}\)

\(a^{f(x)} = b^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \cdot \log a = g(x) \cdot \log b\)

Beispiel

\(\begin{align*}
2^{x+3} &= 3^x &&{\color{orange}|\text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\log 2^{x+3} &= \log 3^x &&{\color{gray}|\text{ Exponent vorziehen}}\\[5px]
(x+3) \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 &&{\color{gray}|\text{ Klammer ausmultiplizieren}}\\[5px]
x \cdot \log 2 + 3 \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 &&{\color{gray}|-(x \cdot \log 2)}\\[5px]
3 \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 - x \cdot \log 2 &&{\color{gray}|\, x \text{ ausklammern}}\\[5px]
3 \cdot \log 2 &= x \cdot (\log 3 - \log 2) &&{\color{gray}|: (\log 3 - \log 2)}\\[5px]
x &= \frac{3 \cdot \log 2}{\log 3 - \log 2} &&{\color{gray}| \text{ Taschenrechner!}}\\[5px]
x &\approx 5,1285 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{5,1285\}
\end{align*}\)

Die Basis des Logarithmus, mit dem man die Gleichung logarithmiert, hat keinen Einfluss auf die Lösung. Aus Einfachheitsgründen verwendet man meist den Logarithmus zur Basis 10, den sog. Zehnerlogarithmus (> Dekadischer Logarithmus): \(\log_{10}x = \log x = \lg x\). Vorteil des Zehnerlogarithmus ist, dass man ihn mit den meisten Taschenrechner berechnen kann.

c) Lösung durch Substitution

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution zu lösen.
Unter „Substitution“ versteht man die Einsetzung einer Ersatzvariablen.

Vorgehensweise

  1. Substitution
  2. Gleichung lösen
  3. Rücksubstitution

Beispiel

\(3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\)

1.) Substitution

\(\left(3^{x}\right)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(3^x = u\)}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Substitution}}\)

\(u^2 - 10u + 9 = 0\)

2.) Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen wir mit Hilfe der Mitternachtsformel:

\[\begin{align*}
u_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\[5pt]
&= \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}\\[5pt]
&= \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}\\[5pt]
&= \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}\\[5pt]
&= \frac{10 \pm 8}{2}\\[5pt]
\end{align*}\]

Die Lösungen \(u_1\) und \(u_2\) sind demnach:

\[u_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[u_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

3.) Rücksubstitution

\({\fcolorbox{red}{}{\(u = 3^x\)}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Rücksubstitution}}\)

Das Einsetzen von \(u_1 = 1\) in \(u = 3^x\) führt zu

\(3^x = 1 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L}_1 = \{0\}\)

Das Einsetzen von \(u_2 = 9\) in \(u = 3^x\) führt zu

\(3^x = 9 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L}_2 = \{2\}\)

Die Lösungsmenge der Exponentialgleichung ist demnach

\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{0;2\}\)

Sonderfall: Exponentenvergleich oder Logarithmieren

Es gibt Fälle, in denen man sich aussuchen kann, wie man die Exponentialgleichung löst.

Beispiel

\(4^{3x+1} = 16^{-x}\)

Lösung durch Exponentenvergleich

\(\begin{align*}
4^{3x+1} &= 16^{-x} &&{\color{gray}|\text{ Auf gleiche Basis umformen}}\\[5pt]
2^{2(3x+1)} &= 2^{-4x} &&{\color{orange}|\text{ Exponentenvergleich}}\\[5pt]
2(3x+1) &= -4x &&{\color{gray}|\text{ Klammer ausmultiplizieren}}\\[5pt]
6x + 2 &= -4x &&{\color{gray}|-2}\\[5pt]
6x &= -4x - 2 &&{\color{gray}|+4x}\\[5pt]
6x + 4x &= - 2 &&{\color{gray}|\text{ Terme zusammenfassen}}\\[5pt]
10x &= -2 &&{\color{gray}|:10}\\[5pt]
x &= \frac{-2}{10} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{-0,2\}
\end{align*}\)

Lösung durch Logarithmieren

\(\begin{align*}
4^{3x+1} &= 16^{-x} &&{\color{orange}|\text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\log 4^{3x+1} &= \log 16^{-x} &&{\color{gray}|\text{ Exponenten vorziehen}}\\[5pt]
(3x +1) \cdot \log 4 &=  -x \cdot \log 16 &&{\color{gray}|\text{ Auf gleichen Numerus umformen}}\\[5pt]
(3x +1) \cdot \log 2^2 &= -x \cdot \log 2^4 &&{\color{gray}|\text{ Exponenten vorziehen}}\\[5pt]
2(3x +1) \cdot \log 2 &= -4x \cdot \log 2 &&{\color{gray}|:\log 2}\\[5pt]
2(3x+1) &= -4x &&{\color{gray}|\text{ Klammer ausmultiplizieren}}\\[5pt]
6x + 2 &= -4x &&{\color{gray}|-2}\\[5pt]
6x &= -4x - 2 &&{\color{gray}|+4x}\\[5pt]
6x + 4x &= - 2 &&{\color{gray}|\text{ Terme zusammenfassen}}\\[5pt]
10x &= -2 &&{\color{gray}|:10}\\[5pt]
x &= \frac{-2}{10} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{-0,2\}
\end{align*}\)

Wie die Beispiele gezeigt haben, musst du sowohl alle Potenzgesetze als auch alle Logarithmusgesetze beherrschen, um Exponentialgleichungen mit Erfolg zu lösen.

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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