Wurzelgleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzelgleichungen sind und wie man sie löst.

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung,
bei der die Variable (auch) unter einer Wurzel vorkommt.

Zur Erinnerung: Eine Wurzel \(\sqrt[n]{x}\) ist nur für \(x \geq 0\) definiert.

Wurzelgleichungen lösen

Vorgehensweise

  1. Wurzel isolieren
  2. Potenzieren
  3. Algebraische Gleichung lösen
  4. Probe machen

zu 1.)

Wurzel isolieren = Gleichung so umformen, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht

zu 2.)

Um die Wurzel \(\sqrt[n]{x}\) zu beseitigen, müssen wir sie mit dem Wurzelexponenten \(n\) potenzieren.
Das Potenzieren mit 2, um eine Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) zu beseitigen, heißt auch „Quadrieren“.

zu 3.)

Ziel des Potenzierens aus Schritt 2 ist es, die Wurzelgleichung in eine algebraische Gleichung (z. B. lineare Gleichung, quadratische Gleichung oder kubische Gleichung) zu überführen.
Diese Gleichung können wir dann mit den bekannten Methoden lösen.

zu 4.)

Das Potenzieren aus Schritt 2 ist i. Allg. keine Äquivalenzumformung: Durch das Potenzieren können Lösungen (sog. Scheinlösungen) hinzukommen, es gehen aber keine verloren.

Um Scheinlösungen auszusortieren, machen wir die Probe, d. h., wir setzen die möglichen Lösungen in die Ausgangsgleichung ein. Nur die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, gehören auch wirklich zur Lösung der Wurzelgleichung.

Beispiel 1

\(\sqrt{x + 1} - 2 = 0\)

1.) Wurzel isolieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} - 2 &= 0 &&{\color{gray}| +2}\\[5pt]
\sqrt{x + 1} &= 2
\end{align*}\)

2.) Potenzieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
\sqrt{x + 1}^2 &= 2^2\\[5pt]
x + 1 &= 4
\end{align*}\)

3.) Algebraische Gleichung lösen

\(\begin{align*}
x + 1 &= 4 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &= 3
\end{align*}\)

4.) Probe machen

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} &= 2 &&{\color{gray}|\; x = 3}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}3} + 1} &= 2\\[5pt]
\sqrt{4} &= 2\\[5pt]
2 &= 2 &&{\color{green}\phantom{|}\text{ Wahre Aussage!}}
\end{align*}\)

Die Lösung der Wurzelgleichung \(\sqrt{x + 1} = 2\) ist \(\mathbb{L} = \{3\}\).

Beispiel 2

\(\sqrt{x + 1} + 2 = 0\)

1.) Wurzel isolieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} + 2 &= 0 &&{\color{gray}| -2}\\[5pt]
\sqrt{x + 1} &= -2
\end{align*}\)

Bereits an dieser Stelle kann man erkennen, dass es keine Lösung gibt:
Der Wert einer Wurzel ist für jedes beliebige \(x\) immer gleich oder größer 0 und niemals -2.

2.) Potenzieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} &= -2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
\sqrt{x + 1}^2 &= (-2)^2\\[5pt]
x + 1 &= 4
\end{align*}\)

3.) Algebraische Gleichung lösen

\(\begin{align*}
x + 1 &= 4 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &= 3
\end{align*}\)

4.) Probe machen

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 1} &= -2 &&{\color{gray}|\; x = 3}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}3} + 1} &= -2\\[5pt]
\sqrt{4} &= -2\\[5pt]
2 &= -2 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x = 3\) ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung \(\sqrt{x + 1} = -2\) ist leer: \(\mathbb{L} = \{\}\).

Es gibt Fälle, in denen Schritt 1 (Wurzel isolieren) und/oder
Schritt 2 (Potenzieren) mehrmals ausgeführt werden müssen.

Beispiel 3

\(\sqrt{x + \sqrt{2x}} = 2\)

1.) Wurzel isolieren

Die Wurzel ist bereits isoliert.

2.) Potenzieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
\sqrt{x + \sqrt{2x}}^2 &= 2^2 \\[5pt]
x + \sqrt{2x} &= 4
\end{align*}\)

3.) Wurzel isolieren

\(\begin{align*}
x + \sqrt{2x} &= 4 &&{\color{gray}| -x}\\[5pt]
\sqrt{2x} &= 4 - x
\end{align*}\)

4.) Potenzieren

\(\begin{align*}
\sqrt{2x} &= 4 - x &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
\sqrt{2x}^2 &= (4 - x)^2 \\[5pt]
2x &= 16 - 8x + x^2
\end{align*}\)

5.) Algebraische Gleichung lösen

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
2x &= 16 - 8x + x^2 &&{\color{gray}| -2x}\\[5pt]
0 &= 16 - 10x + x^2 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
16 - 10x + x^2 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Nach Potenzen von \(x\) sortieren}}\\[5pt]
x^2 - 10x + 16 &= 0
\end{align*}\)

Quadratische Gleichung mit der pq-Formel lösen

\[\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt]
&= -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-16}\\[5pt]
&= -(-5) \pm \sqrt{\left(-5\right)^2-16}\\[5pt]
&= 5 \pm \sqrt{25-16}\\[5pt]
&= 5 \pm \sqrt{9}\\[5pt]
&= 5 \pm 3
\end{align*}\]

Daraus folgt

\(x_1 = 5 - 3 = 2\)

\(x_2 = 5 + 3 = 8\)

6.) Probe machen

\(\begin{align*}
\sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}|\; x_1 = 2}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}2} + \sqrt{2 \cdot {\color{red}2}}} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{2 + \sqrt{4}} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{2 + 2} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{4} &= 2 \\[5pt]
2 &= 2 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_1 = 2\) gehört zur Lösung der Wurzelgleichung.

\(\begin{align*}
\sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}|\; x_2 = 8}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}8} + \sqrt{2 \cdot {\color{red}8}}} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{8 + \sqrt{16}} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{8 + 4} &= 2 \\[5pt]
\sqrt{12} &= 2 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_2 = 8\) ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.

Die Lösung der Wurzelgleichung \(\sqrt{x + \sqrt{2x}} = 2\) ist \(\mathbb{L} = \{2\}\).

Beim Vorkommen von zwei Wurzeln kann es einfacher sein, zunächst so umzuformen, dass eine der Wurzeln allein auf einer Seite steht.

Beispiel 4

\(\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} = 1\)

1.) Wurzel isolieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}| +\sqrt{2x + 3}}\\[5pt]
\sqrt{x + 5} &= 1 + \sqrt{2x + 3}
\end{align*}\)

2.) Potenzieren

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 5} &= 1 + \sqrt{2x + 3} &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
\sqrt{x + 5}^2 &= (1 + \sqrt{2x + 3})^2 \\[5pt]
x + 5 &= 1 + 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 3
\end{align*}\)

3.) Wurzel isolieren

\(\begin{align*}
x + 5 &= 1 + 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 3\\[5pt]
x + 5 &= 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 4 &&{\color{gray}| -2\sqrt{2x + 3}}\\[5pt]
-2\sqrt{2x + 3} + x + 5 &= 2x + 4 &&{\color{gray}| -x}\\[5pt]
-2\sqrt{2x + 3} + 5 &= x + 4 &&{\color{gray}| -5}\\[5pt]
-2\sqrt{2x + 3} &= x - 1 &&{\color{gray}| \cdot(-1)}\\[5pt]
2\sqrt{2x + 3} &= -x + 1
\end{align*}\)

4.) Potenzieren

\(\begin{align*}
2\sqrt{2x + 3} &= -x + 1 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
(2\sqrt{2x + 3})^2 &= (-x + 1)^2 \\[5pt]
2^2 \cdot \sqrt{2x + 3}^2 &= (-x + 1)^2 \\[5pt]
4(2x + 3)&= x^2 - 2x + 1
\end{align*}\)

5.) Algebraische Gleichung lösen

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
4(2x + 3) &= x^2 - 2x + 1 \\[5pt]
8x + 12 &= x^2 - 2x + 1 &&{\color{gray}| -8x}\\[5pt]
12 &= x^2 - 10x + 1 &&{\color{gray}| -12}\\[5pt]
0 &= x^2 - 10x - 11 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x^2 - 10x - 11 &= 0
\end{align*}\)

Quadratische Gleichung mit der pq-Formel lösen

\[\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt]
&= -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-(-11)}\\[5pt]
&= -(-5) \pm \sqrt{\left(-5\right)^2-(-11)}\\[5pt]
&= 5 \pm \sqrt{25+11}\\[5pt]
&= 5 \pm \sqrt{36}\\[5pt]
&= 5 \pm 6
\end{align*}\]

Daraus folgt

\(x_1 = 5 - 6 = -1\)

\(x_2 = 5 + 6 = 11\)

6.) Probe machen

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}|\; x_1 = -1}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}-1} + 5} - \sqrt{2 \cdot ({\color{red}-1}) + 3} &= 1 \\[5pt]
\sqrt{4} - \sqrt{1} &= 1 \\[5pt]
2 - 1 &= 1 \\[5pt]
1 &= 1 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_1 = -1\) gehört zur Lösung der Wurzelgleichung.

\(\begin{align*}
\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}|\; x_2 = 11}\\[5pt]
\sqrt{{\color{red}11} + 5} - \sqrt{2 \cdot {\color{red}11} + 3} &= 1 \\[5pt]
\sqrt{16} - \sqrt{25} &= 1 \\[5pt]
4 - 5 &= 1 \\[5pt]
-1 &= 1 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_2 = 11\) ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.

Die Lösung der Wurzelgleichung \(\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} = 1\) ist \(\mathbb{L} = \{-1\}\).

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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