Bruchgleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter Bruchgleichungen versteht.

Um dieses Thema zu begreifen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist.

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm, in dem die Variable \(x\) im Nenner vorkommt.

Es lohnt sich, an dieser Stelle noch einmal alles zum Thema Bruchrechnen zu wiederholen:

Beispiele für Bruchgleichungen

\[\frac{1}{2x} = 2\]

\[\frac{3}{x+1} + 5x - 7 = 9\]

\[\frac{4x}{7x+3}  = \frac{8}{5+2x}\]

Hinweis
Kommt die Variable \(x\) nur im Zähler des Bruchs vor, so handelt es sich nicht (!) um eine Bruchgleichung.

Als Beispiel soll die folgende Gleichung dienen

\[\frac{4x}{5} = 0\]

Wenn man die Gleichung umschreibt,

\[\frac{4}{5}x = 0\]

sieht man sofort, dass es sich nicht um eine Bruchgleichung handelt.

Bruchgleichungen lösen

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, diejenigen \(x\)-Werte herauszufinden, für die die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel

Gegeben ist die Bruchgleichung

\[\frac{1}{2x} = 0,5\]

Wir setzen nacheinander die Werte -1, 1 und 2 für \(x\) ein und analysieren, was passiert.

  • Einsetzen von \(x = -1\):
    \(\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -0,5\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert -1 ein, ist die Gleichung nicht erfüllt.

  • Einsetzen von \(x = 1\):
    \(\frac{1}{2 \cdot 1} = 0,5\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 1 ein, ist die Gleichung erfüllt.

  • Einsetzen von \(x = 2\):
    \(\frac{1}{2 \cdot 2} = 0,25\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 2 ein, ist die Gleichung nicht erfüllt.

Wenn du eine "Gleichung lösen" sollst, geht es letztlich um die Frage:
"Welche Zahl muss ich für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist?"
Die Antwort auf diese Frage ist die Lösung der Gleichung.

In unserem Beispiel heißt die Lösung folglich: \(x = 1\).

Lösungsverfahren

Im obigen Beispiel haben wir die Lösung quasi durch Ausprobieren herausgefunden. Einfacher und schneller geht es jedoch, wenn man ein Lösungsverfahren einsetzt.

Da dieses Thema sehr umfangreich ist, haben wir dazu einen eigenen Artikel geschrieben
(> Bruchgleichungen lösen).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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