Horner-Schema

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dem Horner-Schema. Dabei handelt es sich um eine einfache Alternative zur Polynomdivision.

Im folgenden Abschnitt wird das Horner-Schema anhand eines Beispiels ausführlich erklärt. Es handelt sich um dasselbe Beispiel wie im Artikel zur Polynomdivision. Welches Verfahren weniger Rechenaufwand mit sich bringt, kann dann jeder selbst entscheiden ;)

Horner-Schema - Beispiel

\(({\colorbox{yellow}{\(2\)}}x^3 + {\colorbox{yellow}{\(4\)}}x^2 - {\colorbox{yellow}{\(2\)}}x - {\colorbox{yellow}{\(4\)}}) : (x {\colorbox{red}{\(- 1\)}}) = \quad ?\)

1) Tabelle aufstellen

Zunächst übertragen wir die Polynomkoeffizienten (beginnend mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz) in die 1. Zeile einer Tabelle mit drei Zeilen, wobei wir die 1. Spalte sowie die 2. und 3. Zeile zunächst frei lassen.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& {\colorbox{yellow}{\(2\)}} & {\colorbox{yellow}{\(4\)}} & {\colorbox{yellow}{\(-2\)}} & {\colorbox{yellow}{\(-4\)}} \\
\hline
\phantom{x_1 = 1} && & & \\
\hline
& & & &
\end{array}\]

In die 2. Zeile (1. Spalte) schreiben wir die Zahl, die in der Klammer hinter dem Geteiltzeichen steht, wobei wir das Vorzeichen umdrehen und "\(x_1 =\)" davor schreiben.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = {\colorbox{red}{\(1\)}} && & & \\
\hline
& & & &
\end{array}\]

Die 3. Zeile bleibt noch leer.

2) Horner-Schema anwenden

Der 1. Schritt ist einfach: Wir schreiben den 1. Koeffizienten der 1. Zeile in die 3. Zeile.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = 1 & & & & \\
\hline
& \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} & & &
\end{array}\]

Der 2. Schritt ist etwas schwerer: Wir multiplizieren die Zahl, die in der 1. Spalte steht, mit dem Koeffizienten, den wir gerade in die 3. Zeile geschrieben haben, und schreiben das Ergebnis in das Feld unterhalb des 2. Koeffizienten der 1. Zeile: \(1 \cdot 2 = 2\).

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = {\colorbox{yellow}{\(1\)}} && {\colorbox{orange}{\(2\)}} & & \\
\hline
& {\colorbox{yellow}{\(2\)}} & & &
\end{array}\]

Der 3. Schritt ist wieder einfach: Wir addieren das Ergebnis aus Schritt 2 mit der Zahl darüber und schreiben das Ergebnis darunter: \(4 + 2 = 6\).

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & {\colorbox{orange}{\(4\)}} & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = 1 && {\colorbox{orange}{\(2\)}} & & \\
\hline
& 2 & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}6}\)} & &
\end{array}\]

So, jetzt wiederholen wir die Schritte 2 (Multiplikation) und 3 (Addition) bis zum Schluss:

Multiplikation: \(1 \cdot 6 = 6\)

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = {\colorbox{yellow}{\(1\)}} && 2 & {\colorbox{orange}{\(6\)}} & \\
\hline
& 2 & {\colorbox{yellow}{\(6\)}} & &
\end{array}\]

Addition: \(-2 + 6 = 4\)

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & {\colorbox{orange}{\(-2\)}} & -4 \\
\hline
x_1 = 1 && 2 & {\colorbox{orange}{\(6\)}} & \\
\hline
& 2 & 6 & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}4}\)} &
\end{array}\]

Multiplikation: \(1 \cdot 4 = 4\)

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = {\colorbox{yellow}{\(1\)}} && 2 & 6 & {\colorbox{orange}{\(4\)}} \\
\hline
& 2 & 6 & {\colorbox{yellow}{\(4\)}} &
\end{array}\]

Addition: \(-4 + 4 = 0\)

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & {\colorbox{orange}{\(-4\)}} \\
\hline
x_1 = 1 && 2 & 6 & {\colorbox{orange}{\(4\)}} \\
\hline
& 2 & 6 & 4 & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}0}\)}
\end{array}\]

3) Ergebnis aufschreiben

Das Ergebnis des Horner-Schemas (entspricht dem Ergebnis der Polynomdivision) kann ganz einfach in der dritten Zeile abgelesen werden. Die letzte Zahl ist dabei der mögliche Rest der Division. In diesem Fall ist der Rest gleich Null und kann entsprechend weggelassen werden.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 2 & 4 & -2 & -4 \\
\hline
x_1 = 1 && 2 & 6 & 4 \\
\hline
& \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}6}\)} & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}4}\)} & \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}0}\)}
\end{array}\]

\(\begin{align*}
(2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1)
&= \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)}x^2 + \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}6}\)}x + \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}4}\)} + \frac{\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}0}\)}}{x-1} \\[5px]
&= 2x^2 + 6x + 4
\end{align*}\)

Bei dem Ergebnis-Polynom handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Weißt du noch, wie man quadratische Gleichungen lösen kann?

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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