Polynomdivision

In diesem Kapitel besprechen wir die Polynomdivision anhand eines ausführlichen Beispiels.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Wir können Polynome addieren.

Beispiel 1 

$$ \left(x^3 + 2x^2 - 3\right) + \left(3x^2 - 5 \right) = x^3 + 5x^2 - 8 $$

Wir können Polynome voneinander subtrahieren.

Beispiel 2 

$$ \left(4x^5 + 3x^3 - 4x + 3\right) - \left(3x^3 - 2x + 2 \right) = 4x^5 - 2x + 1 $$

Wir können Polynome miteinander multiplizieren.

Beispiel 3 

$$ \left(x^3 + 2x^2\right) \cdot \left(3x^2 - 5 \right) = 3x^5 + 6x^4 -5x^3 -10x^2 $$

…und deshalb ist es nur logisch, dass wir auch Polynome dividieren können.

Beispiel 

Beispiel 4 

Berechne

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = \; ? \end{align*} $$

mithilfe einer Polynomdivision.

$\boldsymbol{x}^3$-Term

Division

$$ \begin{align*} &\quad ({\colorbox{yellow}{$2x^3$}} + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = {\colorbox{yellow}{$2x^2$}} \end{align*} $$

Beschreibung

Wie oft passt $x$ in $2x^3$?

$$ \frac{2x^3}{x} = 2x^2 $$

Multiplikation

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = {\colorbox{yellow}{$2x^2$}} \\[5px] &-({\colorbox{yellow}{$2x^3 - 2x^2$}}) \end{align*} $$

Beschreibung

Wir multiplizieren $2x^2$ mit $(x-1)$.

$$ 2x^2 \cdot (x - 1) = 2x^3 - 2x^2 $$

Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 2. Zeile.

Subtraktion

$$ \begin{align*} &\quad ({\colorbox{yellow}{$2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$}}) : (x-1)= 2x^2 \\[5px] &{\colorbox{yellow}{$-(2x^3 - 2x^2)$}} \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2- 2x - 4$}} \end{align*} $$

Beschreibung

Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir von der ursprünglichen Gleichung ab.

$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 - (2x^3 - 2x^2) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 - 2x^3 + 2x^2 = 6x^2 - 2x - 4 $$

Das Ergebnis schreiben wir in die 3. Zeile.

$\boldsymbol{x}^2$-Term

Division

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = 2x^2 + {\colorbox{yellow}{$6x$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2$}}- 2x - 4 \end{align*} $$

Beschreibung

Wie oft passt $x$ in $6x^2$?

$$ \frac{6x^2}{x} = 6x $$

Multiplikation

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = 2x^2 + {\colorbox{yellow}{$6x$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -({\colorbox{yellow}{$6x^2-6x$}}) \end{align*} $$

Beschreibung

Wir multiplizieren $6x$ mit $(x-1)$.

$$ 6x \cdot (x - 1) = 6x^2 - 6x $$

Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 4. Zeile.

Subtraktion

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2 - 2x - 4$}} \\[5px] &\qquad {\colorbox{yellow}{$-(6x^2-6x)$}} \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x - 4$}} \end{align*} $$

Beschreibung

Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir vom Restterm ab.

$$ 6x^2 - 2x - 4 - (6x^2 - 6x) = 6x^2 - 2x - 4 - 6x^2 + 6x = 4x - 4 $$

Das Ergebnis schreiben wir in die 5. Zeile.

$\boldsymbol{x}$-Term

Division

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{$4$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x$}} - 4 \end{align*} $$

Beschreibung

Wie oft passt $x$ in $4x$?

$$ \frac{4x}{x} = 4 $$

Multiplikation

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{$4$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad 4x - 4 \\[5px] &\qquad \qquad \quad -({\colorbox{yellow}{$4x-4$}}) \end{align*} $$

Beschreibung

Wir multiplizieren $4$ mit $(x-1)$.

$$ 4 \cdot (x - 1) = 4x - 4 $$

Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 6. Zeile.

Subtraktion

$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x + 4 \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x - 4$}} \\[5px] &\qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{$-(4x-4)$}} \\[5px] &\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{$0$}} \end{align*} $$

Beschreibung

Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir vom Restterm ab.

$$ 4x - 4 - (4x - 4) = 4x - 4 - 4x + 4 = 0 $$

Das Ergebnis schreiben wir in die 7. Zeile.

Da kein Rest übrig geblieben ist, ist die Polynomdivision beendet.

Falls wir richtig gerechnet haben, gilt:

$$ \left(2x^2 + 6x + 4\right) \cdot (x-1) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 $$

Anwendungen 

Die Polynomdivision ist häufig dann gefragt, wenn es darum geht, Terme zu vereinfachen. So haben wir im obigen Beispiel einen kubischen Term ($2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$) zu einem quadratischen Term ($2x^2 + 6x + 4$) reduziert – ein wesentlicher Schritt beim Lösen von kubischen Gleichungen.

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