Polynomdivision

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit der Polynomdivision. Doch was versteht man eigentlich unter Polynomen?

Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen: \(a_n \cdot x^n\). Dabei kommen nur natürliche Zahlen als Exponenten vor.

Beispiele für Polynome

\(x^3 + 4x - 7\)

\(3x^5 + 8x^2 + x\)

Die höchste Potenz von x gibt den Grad des Polynoms an. Das erste Beispiel ist also ein Polynom vom dritten Grad. Im zweiten Beispiel findet man ein Polynom fünften Grades.

Exkurs: Rechnen mit Polynomen

  • Man kann Polynome addieren bzw. subtrahieren

\(\left(x^3 + 2x^2 - 3\right) + \left(3x^2 - 5 \right) = x^3 + 5x^2 - 8 \)

\(\left(4x^5 + 3x^3 - 4x + 3\right) - \left(3x^3 - 2x + 2 \right) = 4x^5 - 2x + 1\)

  • Man kann Polynome miteinander multiplizieren

\(\left(x^3 + 2x^2\right) \cdot \left(3x^2 - 5 \right) = 3x^5 + 6x^4 -5x^3 -10x^2\)

...und man kann Polynome dividieren. Wie das funktioniert schauen wir uns im folgenden Abschnitt an.

Polynomdivision - Schritt für Schritt

Gegeben ist folgende Aufgabenstellung

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1)= \quad ? \tag{1. Zeile}
\end{align*}\]

Im ersten Schritt überlegen wir uns, mit was man \(x\) multiplizieren muss, damit \(2x^3\) herauskommt. Die Antwort auf diese Frage ist \(2x^2\). Das schreiben wir rechts neben das Gleichheitszeichen.

\[\begin{align*}
&\quad ({\colorbox{yellow}{\(2x^3\)}} + 4x^2 - 2x - 4):({\colorbox{yellow}{\(x\)}}-1)= {\colorbox{yellow}{\(2x^2\)}} \tag{1. Zeile}
\end{align*}\]

Wir multiplizieren \(2x^2\) mit \((x-1)\) und schreiben das Ergebnis in die 2. Zeile. Wie bei der normalen schriftlichen Division schreiben wir noch ein negatives Vorzeichen dazu.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):{\colorbox{yellow}{\((x-1)\)}}= {\colorbox{yellow}{\(2x^2\)}}\tag{1. Zeile}\\
&-({\colorbox{yellow}{\(2x^3 - 2x^2\)}})\tag{2. Zeile}
\end{align*}\]

Wir ziehen \((2x^3 - 2x^2)\) von der ursprünglichen Gleichung ab und schreiben den Rest dieser Subtraktion in die 3. Zeile.

\[\begin{align*}
&\quad ({\colorbox{yellow}{\(2x^3 + 4x^2\)}} - 2x - 4):(x-1)= 2x^2\tag{1. Zeile}\\
&{\colorbox{yellow}{\(-(2x^3 - 2x^2)\)}}\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(6x^2\)}}- 2x - 4\tag{3. Zeile}
\end{align*}\]

Jetzt beginnt das Schema wieder von Neuem. Wir überlegen uns, mit was man \(x\) multiplizieren muss, damit \(6x^2\) (vgl. 3. Zeile) herauskommt. Die Antwort auf diese Frage ist \(6x\). Das schreiben wir wieder rechts neben das Gleichheitszeichen.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):({\colorbox{yellow}{\(x\)}}-1)= 2x^2 + {\colorbox{yellow}{\(6x\)}}\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(6x^2\)}}- 2x - 4\tag{3. Zeile}
\end{align*}\]

Wir multiplizieren \(6x\) mit \((x-1)\) und schreiben das Ergebnis in die 4. Zeile. Wie bei der normalen schriftlichen Division schreiben wir noch ein negatives Vorzeichen dazu.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):{\colorbox{yellow}{\((x-1)\)}}= 2x^2 + {\colorbox{yellow}{\(6x\)}}\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4\tag{3. Zeile}\\
&\qquad  -({\colorbox{yellow}{\(6x^2-6x\)}})\tag{4. Zeile}
\end{align*}\]

Wir ziehen \((6x^2-6)\) von der verbleibenden Gleichung ab und schreiben den Rest dieser Subtraktion in die 5. Zeile.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1)= 2x^2 + 6x\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(6x^2 - 2x\)}} - 4\tag{3. Zeile}\\
&\qquad  {\colorbox{yellow}{\(-(6x^2-6x)\)}}\tag{4. Zeile}\\
&\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(4x\)}} - 4\tag{5. Zeile}
\end{align*}\]

Jetzt beginnt das Schema wieder von Neuem. Wir überlegen uns, mit was man \(x\) multiplizieren muss, damit \(4x\) (vgl. 5. Zeile) herauskommt. Die Antwort auf diese Frage ist \(4\). Das schreiben wir wieder rechts neben das Gleichheitszeichen.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):({\colorbox{yellow}{\(x\)}}-1)= 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4\tag{3. Zeile}\\
&\qquad  -(6x^2-6x)\tag{4. Zeile}\\
&\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(4x\)}} - 4\tag{5. Zeile}
\end{align*}\]

Wir multiplizieren \(4\) mit \((x-1)\) und schreiben das Ergebnis in die 6. Zeile. Wie bei der normalen schriftlichen Division schreiben wir noch ein negatives Vorzeichen dazu.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):{\colorbox{yellow}{\((x-1)\)}}= 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4\tag{3. Zeile}\\
&\qquad  -(6x^2-6x)\tag{4. Zeile}\\
&\qquad \qquad \qquad 4x - 4\tag{5. Zeile}\\
&\qquad \qquad \quad -({\colorbox{yellow}{\(4x-4\)}})\tag{6. Zeile}
\end{align*}\]

Wir ziehen \((4x-4)\) von der verbleibenden Gleichung ab und schreiben den Rest dieser Subtraktion - also \(0\) in die 7. Zeile.

\[\begin{align*}
&\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x {\colorbox{yellow}{\(-4\)}}):(x-1)= 2x^2 + 6x + 4\tag{1. Zeile}\\
&-(2x^3 - 2x^2)\tag{2. Zeile} \\
&\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4\tag{3. Zeile}\\
&\qquad  -(6x^2-6x)\tag{4. Zeile}\\
&\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{\(4x - 4\)}}\tag{5. Zeile}\\
&\qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{\(-(4x-4)\)}}\tag{6. Zeile}\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{\(0\)}}\tag{7. Zeile}
\end{align*}\]

Damit ist die Polynomdivision beendet. Falls wir richtig gerechnet haben, so gilt

\(\left(2x^2 + 6x + 4\right) \cdot (x-1) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4\)

...wem das zu viel Rechenaufwand ist, der sollte sich mal mit dem Horner-Schema auseinandersetzen. Dabei handelt es sich um eine einfache Alternative zur Polynomdivision!

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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