Kubische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter kubischen Gleichungen versteht.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen in die Form

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$

bringen lassen, heißen kubische Gleichungen.

In einer kubischen Gleichung kommt beim $x$ der Exponent $3$, aber kein höherer Exponent vor.

Beispiele 

Beispiel 1 

$$ 2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 = 0 $$

Beispiel 2 

$$ 6x^3 = 3 - 8x $$

Beispiel 3 

$$ 4 (x^2-3x) = x^3+5 $$

Kubische Gleichungen lösen 

Im Schulunterricht lernen wir folgendes Verfahren kennen:

Lösung durch systematisches Raten finden

Teiler des Absolutglieds finden

Teiler des Absolutglieds in kubische Gleichung einsetzen

Kubische Gleichung auf quadratische Gleichung reduzieren

Quadratische Gleichung lösen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 1)

Das systematische Raten einer Lösung führt nur dann zum Erfolg, wenn es eine (leicht findbare) ganzzahlige Lösung gibt. Systematisch heißt in diesem Fall, dass wir unsere Suche auf die Teiler des absoluten Glieds beschränken. Der Zusammenhang zwischen Teiler des absoluten Glieds und Lösung der Gleichung folgt aus dem Satz von Vieta.

zu 2)

Um die kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren, können wir eines der folgenden Rechenverfahren anwenden:

zu 3)

Um die quadratische Gleichung zu lösen, können wir eines der folgenden Rechenverfahren anwenden:

Beispiel 4 

Löse die kubische Gleichung

$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Lösung durch systematisches Raten finden

Teiler des Absolutglieds finden

Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, dann ist diese ein Teiler des Absolutglieds $-4$.

Mögliche Lösungen: $0$ $\pm 1$, $\pm 2$.

Teiler des Absolutglieds in kubische Gleichung einsetzen

Wir setzen die möglichen Lösungen nacheinander in die kubische Gleichung ein:

$$ 2\cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -4 = 0 $$

Das Einsetzen von $x = 0$ führt zu einer falschen Aussage. $x = 0$ ist folglich keine Lösung der kubischen Gleichung.

$$ 2\cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0 $$

Das Einsetzen von $x = 1$ führt zu einer wahren Aussage. $x = 1$ ist folglich eine Lösung der kubischen Gleichung.

Da wir eine Lösung gefunden haben, können wir die Überprüfung der Teiler vorzeitig abbrechen.

Kubische Gleichung auf quadratische Gleichung reduzieren

Durch Polynomdivision können wir die kubische Gleichung mithilfe der gefundenen Lösung auf eine quadratische Gleichung reduzieren. Dabei teilen wir den kubischen Term durch $(x-1)$, weil die gefundene Lösung $x = 1$ ist. Wäre die Lösung $x = -3$, müssten wir durch $(x+3)$ teilen.

Ansatz

$$ (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = \; ? $$

Die einzelnen Rechenschritte sind im Kapitel Polynomdivision ausführlich erklärt.

Ergebnis

$$ (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x + 4 $$

Quadratische Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung

$$ 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$

sind $x_2 = -2$ und $x_3 = -1$.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{-2; -1; 1\} $$

Online-Rechner 

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