Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösen sollen, deren Definitionsmenge die Menge der komplexen Zahlen ist.
Benötigtes Vorwissen
Kontext
In den vorherigen Kapiteln haben wir oft gehört, dass eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Dieser Satz gilt aber nur, wenn wir die Definitionsmenge - wie in der Schule üblich - auf die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) beschränken. Eine Erweiterung der Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) führt uns zu folgendem Satz:
Eine quadratische Gleichung kann zwei komplexe*, eine reelle oder zwei reelle Lösungen haben.
*...genau dann, wenn die Diskriminante kleiner als Null (\(D < 0\)) ist.
Inhaltsverzeichnis
1. Reinquadratische Gleichungen
2. Gemischtquadratische Gleichungen
2.1. Quadratische Ergänzung
2.2. Mitternachtsformel
2.3. pq-Formel
1. Reinquadratische Gleichungen
Nur bei reinquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiel
- \(2x^2 + 8 = 0\)
1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
\(\begin{align*}
2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}| -8} \\[5px]
2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px]
2x^2 &= -8 &&{\color{gray}| :2} \\[5px]
\frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px]
x^2 &= -4
\end{align*}\)
2) Wurzel ziehen
\(\begin{align*}
x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4} \cdot i \\[5px]
x &= \pm 2i \\[5px]
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = -2i\)
\(x_2 = 2i\)
3) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{-2i; 2i\}\)
2. Gemischtquadratische Gleichungen
Nur bei gemischtquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
2.1. Quadratische Ergänzung
Notwendiges Vorwissen: Quadratische Ergänzung
1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
3) Quadratische Ergänzung durchführen
4) Binomische Formel anwenden
5) Wurzel ziehen
6) Lösungen berechnen
7) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiel
- \(2x^2 + 12x + 20 = 0\)
1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen
\(\begin{align*}
2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
x^2 + 6x + 10 &= 0
\end{align*}\)
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
\(\begin{align*}
x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|-10} \\[5px]
x^2 + 6x &= -10
\end{align*}\)
3) Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -1
\end{align*}\)
4) Binomische Formel anwenden
\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
({\color{red}x + 3})^2 &= -1
\end{align*}\)
5) Wurzel ziehen
\(\begin{align*}
(x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + 3 &= \pm \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
x + 3 &= \pm i
\end{align*}\)
6) Lösungen berechnen
\(\begin{align*}
x + 3 &= \pm i &&{\color{gray}|-3} \\[5px]
x &= -3 \pm i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = -3 - i\)
\(x_2 = -3 + i\)
7) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{-3-i; -3+i\}\)
2.2. Mitternachtsformel
Notwendiges Vorwissen: Mitternachtsformel
1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
3) Lösungen berechnen
4) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiele
- \(-3x^2 + 6x - 15 = 0\)
1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
\(a = -3\), \(b = 6\) und \(c = -15\)
2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15)}}{2 \cdot (-3)}
\end{align*}\)
3) Lösungen berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{x_{1,2}}
&= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 180}}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144 \cdot (-1)}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}}{-6} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{12^2} \cdot i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm 12i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6}{-6} \pm \frac{12}{-6}i \\[5px]
&= 1 \pm (-2i)
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 1 - (-2i) = 1 + 2i\)
\(x_2 = 1 + (-2i) = 1 - 2i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\) - \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)
1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
\(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 11\)
2) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
&= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}
\end{align*}\)
3) Lösungen berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{x_{1,2}}
&= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{-24}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24 \cdot (-1)}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot \sqrt{-1}}{4} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm 2\sqrt{6}i}{4} \\[5px]
&= \frac{8}{4} \pm \frac{2\sqrt{6}}{4}i \\[5px]
&= 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i\)
\(x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \left\{2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i; 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right\}\)
2.3. pq-Formel
Notwendiges Vorwissen: pq-Formel
1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
2) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
3) Lösungen berechnen
4) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiele
- \(x^2 - 2x + 5= 0\)
1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
\(p = -2\) und \(q = 5\)
2) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
&= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-5}
\end{align*}\)
3) Lösungen berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{x_{1,2}}
&= 1 \pm \sqrt{(-1)^2-5} \\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{1-5} \\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
&= 1 \pm 2 \cdot i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 1 - 2i\)
\(x_2 = 1 + 2i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\) - \(x^2 - 4x + 7= 0\)
1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
\(p = -4\) und \(q = 7\)
2) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
&= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7}
\end{align*}\)
3) Lösungen berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{x_{1,2}}
&= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{-3} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3} \cdot i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 2 - \sqrt{3}i\)
\(x_2 = 2 + \sqrt{3}i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{2 - \sqrt{3}i; 2 + \sqrt{3}i\}\)
Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!