Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösen sollen, deren Definitionsmenge die Menge der komplexen Zahlen ist.
Benötigtes Vorwissen
Kontext
In den vorherigen Kapiteln haben wir oft gehört, dass eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Dieser Satz gilt aber nur, wenn wir die Definitionsmenge - wie in der Schule üblich - auf die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) beschränken. Eine Erweiterung der Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) führt uns zu folgendem Satz:
Eine quadratische Gleichung kann zwei komplexe*, eine reelle oder zwei reelle Lösungen haben.
*...genau dann, wenn die Diskriminante kleiner als Null (\(D < 0\)) ist.
Inhaltsverzeichnis
1. Reinquadratische Gleichungen
2. Gemischtquadratische Gleichungen
2.1. Quadratische Ergänzung
2.2. Mitternachtsformel
2.3. pq-Formel
1. Reinquadratische Gleichungen
Nur bei reinquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiel
- \(2x^2 + 8 = 0\)
1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
\(\begin{align*}
2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}| -8} \\[5px]
2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px]
2x^2 &= -8 &&{\color{gray}| :2} \\[5px]
\frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px]
x^2 &= -4
\end{align*}\)
2) Wurzel ziehen
\(\begin{align*}
x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
x &= \pm \sqrt{4} \cdot i \\[5px]
x &= \pm 2i \\[5px]
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = -2i\)
\(x_2 = 2i\)
3) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{-2i; 2i\}\)
2. Gemischtquadratische Gleichungen
Nur bei gemischtquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
2.1. Quadratische Ergänzung
Notwendiges Vorwissen: Quadratische Ergänzung
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
3) Quadratische Ergänzung durchführen
4) Binomische Formel anwenden
5) Wurzel ziehen
6) Gleichungen nach \(x\) auflösen
7) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiel
- \(2x^2 + 12x + 20 = 0\)
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\(\begin{align*}
2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
x^2 + 6x + 10 &= 0
\end{align*}\)
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
\(\begin{align*}
x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|-10} \\[5px]
x^2 + 6x &= -10
\end{align*}\)
3) Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px]
x^2 + 6x + 3^2 &= -1
\end{align*}\)
4) Binomische Formel anwenden
\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
({\color{red}x + 3})^2 &= -1
\end{align*}\)
5) Wurzel ziehen
\(\begin{align*}
(x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + 3 &= \pm \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
x + 3 &= \pm i
\end{align*}\)
6) Gleichung nach \(x\) auflösen
\(\begin{align*}
x + 3 &= \pm i &&{\color{gray}|-3} \\[5px]
x &= -3 \pm i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = -3 - i\)
\(x_2 = -3 + i\)
7) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{-3-i; -3+i\}\)
2.2. Mitternachtsformel
Notwendiges Vorwissen: Mitternachtsformel
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
4) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiele
- \(-3x^2 + 6x - 15 = 0\)
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
\(a = -3\), \(b = 6\) und \(c = -15\)
3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15)}}{2 \cdot (-3)} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 180}}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144 \cdot (-1)}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}}{-6} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm \sqrt{12^2} \cdot i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6 \pm 12i}{-6} \\[5px]
&= \frac{-6}{-6} \pm \frac{12}{-6}i \\[5px]
&= 1 \pm (-2i)
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 1 - (-2i) = 1 + 2i\)
\(x_2 = 1 + (-2i) = 1 - 2i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\) - \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
\(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 11\)
3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
&= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{-24}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24 \cdot (-1)}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot \sqrt{-1}}{4} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot i}{4} \\[5px]
&= \frac{8 \pm 2\sqrt{6}i}{4} \\[5px]
&= \frac{8}{4} \pm \frac{2\sqrt{6}}{4}i \\[5px]
&= 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i\)
\(x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \left\{2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i; 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right\}\)
2.3. pq-Formel
Notwendiges Vorwissen: pq-Formel
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungsmenge aufschreiben
Beispiele
- \(x^2 - 2x + 5= 0\)
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
\(p = -2\) und \(q = 5\)
3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
&= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-5} \\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{(-1)^2-5} \\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{1-5} \\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
&= 1 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
&= 1 \pm 2 \cdot i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 1 - 2i\)
\(x_2 = 1 + 2i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\) - \(x^2 - 4x + 7= 0\)
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
\(p = -4\) und \(q = 7\)
3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
\(\begin{align*}
x_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
&= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{-3} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
&= 2 \pm \sqrt{3} \cdot i
\end{align*}\)
Fallunterscheidung
\(x_1 = 2 - \sqrt{3}i\)
\(x_2 = 2 + \sqrt{3}i\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
\(\mathbb{L} = \{2 - \sqrt{3}i; 2 + \sqrt{3}i\}\)
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