Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösen sollen, deren Definitionsmenge die Menge der komplexen Zahlen ist.

Kontext

In den vorherigen Kapiteln haben wir oft gehört, dass eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Dieser Satz gilt aber nur, wenn wir die Definitionsmenge - wie in der Schule üblich - auf die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) beschränken. Eine Erweiterung der Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) führt uns zu folgendem Satz:

Eine quadratische Gleichung kann zwei komplexe*, eine reelle oder zwei reelle Lösungen haben.

*...genau dann, wenn die Diskriminante kleiner als Null (\(D < 0\)) ist.

1. Reinquadratische Gleichungen

Nur bei reinquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.

1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel

  • \(2x^2 + 8 = 0\)

    1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}| -8} \\[5px]
    2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px]
    2x^2 &= -8 &&{\color{gray}| :2} \\[5px]
    \frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px]
    x^2 &= -4
    \end{align*}\)

    2) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px]
    x &= \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
    x &= \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
    x &= \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
    x &= \pm \sqrt{4} \cdot i \\[5px]
    x &= \pm 2i \\[5px]
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = -2i\)

    \(x_2 = 2i\)

    3) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-2i; 2i\}\)

2. Gemischtquadratische Gleichungen

Nur bei gemischtquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.

2.1. Quadratische Ergänzung

Notwendiges Vorwissen: Quadratische Ergänzung

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
3) Quadratische Ergänzung durchführen
4) Binomische Formel anwenden
5) Wurzel ziehen
6) Gleichungen nach \(x\) auflösen
7) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel

  • \(2x^2 + 12x + 20 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 10 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|-10} \\[5px]
    x^2 + 6x &= -10
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
    \(\begin{align*}
    x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -1
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x + 3})^2 &= -1
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm i
    \end{align*}\)

    6) Gleichung nach \(x\) auflösen

    \(\begin{align*}
    x + 3 &= \pm i &&{\color{gray}|-3} \\[5px]
    x &= -3 \pm i
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = -3 - i\)

    \(x_2 = -3 + i\)

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-3-i; -3+i\}\)

2.2. Mitternachtsformel

Notwendiges Vorwissen: Mitternachtsformel

1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen
4) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(-3x^2 + 6x - 15 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

    2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen


    \(a = -3\), \(b = 6\) und \(c = -15\)

    3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15)}}{2 \cdot (-3)} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 180}}{-6} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{144 \cdot (-1)}}{-6} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}}{-6} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot i}{-6} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm \sqrt{12^2} \cdot i}{-6} \\[5px]
    &= \frac{-6 \pm 12i}{-6} \\[5px]
    &= \frac{-6}{-6} \pm \frac{12}{-6}i \\[5px]
    &= 1 \pm (-2i)
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 1 - (-2i) = 1 + 2i\)

    \(x_2 = 1 + (-2i) = 1 - 2i\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\)

  • \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

    2) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 11\)

    3) \(a\), \(b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{-24}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ ausklammern}} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{24 \cdot (-1)}}{4} &&{\color{gray}| -1\text{ abspalten}} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot \sqrt{-1}}{4} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot i}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot i}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot i}{4} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm 2\sqrt{6}i}{4} \\[5px]
    &= \frac{8}{4} \pm \frac{2\sqrt{6}}{4}i \\[5px]
    &= 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}i
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i\)

    \(x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \left\{2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i; 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right\}\)

2.3. pq-Formel

Notwendiges Vorwissen: pq-Formel

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(x^2 - 2x +  5= 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

    2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -2\) und \(q = 5\)

    3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
    &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-5} \\[5px]
    &= 1 \pm \sqrt{(-1)^2-5} \\[5px]
    &= 1 \pm \sqrt{1-5} \\[5px]
    &= 1 \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
    &= 1 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
    &= 1 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
    &= 1 \pm 2 \cdot i
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 1 - 2i\)

    \(x_2 = 1 + 2i\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\}\)

  • \(x^2 - 4x + 7= 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen


    Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

    2) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -4\) und \(q = 7\)

    3) \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{-3} &&{\color{gray}| -1 \text{ ausklammern}}\\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{3 \cdot (-1)} &&{\color{gray}| -1 \text{ abspalten}}\\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\; i = \sqrt{-1}}\\[5px]
    &= 2 \pm \sqrt{3} \cdot i
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 2 - \sqrt{3}i\)

    \(x_2 = 2 + \sqrt{3}i\)

    4) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{2 - \sqrt{3}i; 2 + \sqrt{3}i\}\)
Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 43 eBooks gratis!

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