Biquadratische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was biquadratische Gleichungen sind.

Kontext

Neben Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichungen)

\(ax^{\color{red}2} + bx + c = 0\)

gibt es auch Gleichungen 3. Grades (Kubische Gleichungen)

\(ax^{\color{red}3} + bx^2 + cx + d = 0\)

und Gleichungen 4. Grades

\(ax^{\color{red}4} + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

usw.

Eine biquadratische Gleichungen ist ein Spezialfall einer Gleichung 4. Grades:

Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades,
die keine ungeraden Exponenten enthält:

\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)

Wortherkunft

Die Vorsilbe „bi-“ kommt aus dem Lateinischen und drückt aus, dass etwas doppelt vorkommt. Das heißt, „biquadratisch“ bedeutet frei übersetzt so viel wie „doppelt quadratisch“. Dass das eine sehr sinnvolle Bezeichnung für diese Art von Gleichung ist, können wir so verdeutlichen:

\(\underset{\color{gray}\text{Quadratische Gleichung}}{ax^2 + bx + c = 0\vphantom{\left(x^2\right)}} \quad \Rightarrow \quad \underset{\color{gray}\text{Biquadratische Gleichung}}{a\left(x^2\right){\color{red}^2} + b(x){\color{red}^2} + c = 0}\)

Wir erkennen, dass in einer biquadratischen Gleichung im Vergleich zu einer quadratischen Gleichung die Variable „doppelt“ vorkommt. PS: Nach den Potenzgesetzen gilt \(\left(x^2\right)^2 = x^4\).

Biquadratische Gleichungen lösen

1) Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
2) Substitution: \(x^2 = z\)
3) Quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\) lösen
4) Resubstitution: \(z = x^2\)
5) Wurzel ziehen
6) Lösungsmenge aufschreiben

Durch Ersetzen (Substitution) der Variable \(x^2\) durch \(z\) können wir die biquadratische Gleichung zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen. Nachdem wir die Lösungen dieser quadratischen Gleichung berechnet haben, müssen wir aber wieder \(z\) durch \(x^2\) ersetzen (Resubstitution), um die Lösungen der biquadratischen Gleichung berechnen zu können.

Beispiele

  • \(2x^4 - 3x^2 + 1 = 0\)

    1) Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

    2) Substitution: \(x^2 = z\)

    \(\begin{align*}
    2x^4 - 3x^2 + 1 &= 0 \\[5px]
    2(x^2)^2 - 3x^2 + 1 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Substitution: } x^2 = z}\\[5px]
    2z^2 - 3z + 1 &= 0
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\) lösen

    \(\begin{align*}
    z_{1, 2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\;a = 2, b = -3, c = 1 \text{ einsetzen}}\\[5px]
    &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \\[5px]
    &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \\[5px]
    &= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \\[5px]
    &= \frac{3 \pm 1}{4} \\[5px]
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(\begin{align*}
    z_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5
    \end{align*}\)

    \(\begin{align*}
    z_2 = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1
    \end{align*}\)

    4) Resubstitution: \(z = x^2\)

    Fall 1

    \(\begin{align*}
    z_1 &= 0{,}5 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_1 = x^2}\\[5px]
    x^2 &= 0{,}5
    \end{align*}\)

    Fall 2

    \(\begin{align*}
    z_2 &= 1 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_2 = x^2}\\[5px]
    x^2 &= 1
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    Fall 1

    \(\begin{align*}
    x^2 &= 0{,}5 &&{\color{gray}|\;\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
    \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{0{,}5} \\[5px]
    x &= \pm \sqrt{0{,}5}
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung 1

    \(x_1 = -0{,}5\)

    \(x_2 = 0{,}5\)

    Fall 2

    \(\begin{align*}
    x^2 &= 1 &&{\color{gray}|\;\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
    \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{1} \\[5px]
    x &= \pm 1
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung 2

    \(x_3 = -1\)

    \(x_4 = 1\)

    6) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-1;-0{,}5;0{,}5;1\}\)

  • \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\)

    1) Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

    2) Substitution: \(x^2 = z\)

    \(\begin{align*}
    x^4 - 8x^2 - 9 &= 0 \\[5px]
    (x^2)^2 - 8x^2 - 9 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Substitution: } x^2 = z}\\[5px]
    z^2 - 8z - 9 &= 0
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\) lösen

    \(\begin{align*}
    z_{1, 2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\;a = 1, b = -8, c = -9 \text{ einsetzen}}\\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm 10}{2} \\[5px]
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(\begin{align*}
    z_1 = \frac{8-10}{2} = \frac{-2}{2} = -1
    \end{align*}\)

    \(\begin{align*}
    z_2 = \frac{8+10}{2} = \frac{18}{2} = 9
    \end{align*}\)

    4) Resubstitution: \(z = x^2\)

    Fall 1

    \(\begin{align*}
    z_1 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_1 = x^2}\\[5px]
    x^2 &= -1
    \end{align*}\)

    Fall 2

    \(\begin{align*}
    z_2 &= 9 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_2 = x^2}\\[5px]
    x^2 &= 9
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    Fall 1

    \(\begin{align*}
    x^2 &= -1 &&{\color{gray}|\;\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
    \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{-1}
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow\) In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert.

    Fall 2

    \(\begin{align*}
    x^2 &= 9 &&{\color{gray}|\;\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
    \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{9} \\[5px]
    x &= \pm 3
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung 2

    \(x_3 = -3\)

    \(x_4 = 3\)

    6) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-3;3\}\)

  • \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\)

    1) Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

    Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

    2) Substitution: \(x^2 = z\)

    \(\begin{align*}
    x^4 - 8x^2 + 16 &= 0 \\[5px]
    (x^2)^2 - 8x^2 + 16 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Substitution: } x^2 = z}\\[5px]
    z^2 - 8z + 16 &= 0
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Gleichung mit der Variablen \(z\) lösen

    \(\begin{align*}
    z_{1, 2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\;a = 1, b = -8, c = 16 \text{ einsetzen}}\\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2} \\[5px]
    &= \frac{8 \pm 0}{2} \\[5px]
    &= \frac{8}{2} \\[5px]
    &= 4
    \end{align*}\)

    4) Resubstitution: \(z = x^2\)

    \(\begin{align*}
    z &= 4 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z = x^2}\\[5px]
    x^2 &= 4
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    x^2 &= 4 &&{\color{gray}|\;\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
    \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{4} \\[5px]
    x &= \pm 2
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = -2\)

    \(x_2 = 2\)

    6) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-2;2\}\)
Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 43 eBooks gratis!

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