Biquadratische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was biquadratische Gleichungen sind.

Wortherkunft

Die Vorsilbe „bi-“ kommt aus dem Lateinischen und drückt aus, dass etwas doppelt vorkommt.

Quadratisch vs. biquadratisch

Wenn davon die Rede ist, dass „\(x\) quadratisch vorkommt“, dann bedeutet das: \(x^2\).

Wenn davon die Rede ist, dass „\(x\) biquadratisch vorkommt“, dann bedeutet das: \(x^4\).
Herleitung: Biquadratisch, also doppelt quadratisch, bedeutet: \(\left(x^2\right)^2 = x^4\).
                  (siehe dazu auch Potenzgesetze)

Definition

Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades,
die keine ungeraden Exponenten enthält:

\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)

Eine biquadratische Gleichung ist eine besondere Form einer quadratische Gleichung, denn:

\(\underset{\color{gray}\text{Quadratische Gleichung}}{ax^2 + bx + c = 0} \quad \Rightarrow \quad \underset{\color{gray}\text{Biquadratische Gleichung}}{a\left(x^2\right){\color{red}^2} + b(x){\color{red}^2} + c = 0}\)

Die Mitternachtsformel (abc-Formel) und die pq-Formel können wir genauso umformen.

Biquadratische Gleichungen lösen

...mit Hilfe der Mitternachtsformel

\[ x{\color{red}^2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

...mit Hilfe der pq-Formel

\[x{\color{red}^2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]

Unabhängig davon, ob wir die Mitternachtsformel oder die pq-Formel einsetzen,
müssen wir am Ende der Rechnung eine Potenzgleichung wie \(x^2 = 9\) lösen.


Potenzgleichungen lösen wir durch Wurzelziehen:

\(x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)

\(x_1 = -3\) (Probe: \((-3)^2 = 9\))

\(x_2 = +3\) (Probe: \(3^2 = 9\))

Beispiel 1

\(2x^4 - 3x^2 + 1 = 0\)

1.) Mitternachtsformel

\[\begin{align*}
x{\color{red}^2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \\[10pt]
&= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \\[10pt]
&= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \\[10pt]
&= \frac{3 \pm 1}{4} \\[10pt]
\end{align*}\]

\[\Rightarrow x_1{\color{red}^2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5\]

\[\Rightarrow x_2{\color{red}^2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\]

2.) Potenzgleichung lösen

1. Ansatz: \(x^2 = 0{,}5\)

\(x = \pm \sqrt{0{,}5}\)
\(\Rightarrow x_1 = -\sqrt{0{,}5}\)
\(\Rightarrow x_2 = +\sqrt{0{,}5}\)

2. Ansatz: \(x^2 = 1\)

\(x = \pm \sqrt{1} = \pm 1\)
\(\Rightarrow x_3 = -1\)
\(\Rightarrow x_4 = +1\)

\(\Longrightarrow \mathbb{L} = \{\pm \sqrt{0{,}5}; \pm 1\}\)

Beispiel 2

\(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\)

1.) Mitternachtsformel

\[\begin{align*}
x{\color{red}^2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm 10}{2} \\[10pt]
\end{align*}\]

\[\Rightarrow x_1{\color{red}^2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

\[\Rightarrow x_2{\color{red}^2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

2.) Potenzgleichung lösen

1. Ansatz: \(x^2 = -1\)

\(x = \pm \sqrt{-1} = \text{n. def.}\)
(Wurzelziehen für Wurzeln mit negativen Radikanden nicht definiert!)

2. Ansatz: \(x^2 = 9\)

\(x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)
\(\Rightarrow x_1 = -3\)
\(\Rightarrow x_2 = 3\)

\(\Longrightarrow \mathbb{L} = \{\pm 3\}\)

Beispiel 3

\(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\)

1.) Mitternachtsformel

\[\begin{align*}
x{\color{red}^2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm 0}{2} \\[10pt]
&= \frac{8}{2} \\[10pt]
&= 4
\end{align*}\]

\[\Rightarrow x{\color{red}^2} = 4\]

2.) Potenzgleichung lösen

Ansatz: \(x^2 = 4\)

\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)
\(\Rightarrow x_1 = -2\)
\(\Rightarrow x_2 = +2\)

\(\Longrightarrow \mathbb{L} = \{\pm 2\}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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