Quadratische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter quadratischen Gleichungen versteht.

Um dieses Thema zu begreifen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.

Beispiele für quadratische Gleichungen

\(7x^2 + 3x + 5 = 0\)

\(2x^2 = 3 - 8x\)

\(4 (x^2-1) = 3x+5\)

Nach der Gestalt einer quadratischen Gleichung lassen sich folgende vier Fälle unterscheiden:

  1. \(ax^2 = 0\)
  2. \(ax^2 + c = 0\)
  3. \(ax^2 + bx = 0\)
  4. \(ax^2 + bx + c = 0\)

Den 4. Fall bezeichnet man als allgemeine Form einer quadratischen Gleichung.

Merke: \(a\), \(b\) und \(c\) sind reelle Zahlen. \(x\) ist die Variable.

Quadratische Gleichungen lösen

Eine Gleichung zu lösen bedeutet,
diejenigen \(x\)-Werte herauszufinden, für die die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel

Gegegeben ist die quadratische Gleichung

\(2x^2-4x-16 = 0\)

Wir setzen nacheinander die Werte \(-2\), \(0\) und \(4\) für \(x\) ein und analysieren, was passiert.

  • \(x = -2\):
    \(2\cdot({\color{blue}-2})^2-4\cdot ({\color{blue}-2})-16 = 8 + 8 - 16 = 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert -2 ein, ist die Gleichung erfüllt.

  • \(x = 0\):
    \(2\cdot {\color{blue}0}^2-4\cdot {\color{blue}0}-16 = 0 - 0 - 16 = -16 \neq 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 0 ein, ist die Gleichung nicht erfüllt.

  • \(x = 4\):
    \(2\cdot {\color{blue}4}^2-4\cdot {\color{blue}4}-16 = 32 - 16 - 16 = 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 4 ein, ist die Gleichung erfüllt.

Wenn du eine "Gleichung lösen" sollst, geht es letztlich um die Frage:
"Welche Zahl(en) muss ich für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist?"
Die Antwort auf diese Frage ist die Lösung der Gleichung.

In unserem Beispiel heißen die Lösungen folglich: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\).

Lösungsverfahren

Im obigen Beispiel haben wir die Lösungen quasi durch Ausprobieren herausgefunden. Einfacher und schneller geht es jedoch, wenn man ein Lösungsverfahren einsetzt.

Je nach Gestalt der quadratischen Gleichung gibt es eine unterschiedliche Vorgehensweise. Alle Lösungsverfahren werden im Artikel Quadratische Gleichungen lösen ausführlich vorgestellt.

Sehr bekannt sind die Formeln zum Lösen von Gleichungen vom Typ \(ax^2 + bx + c = 0\).
Dabei handelt es sich um Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) und die pq-Formel.

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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