Quadratische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was quadratische Gleichungen sind.

Benötigtes Vorwissen

Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

\(ax^2 + bx + c = 0 \quad (a, b, c \in \mathbb{R}; a \neq 0)\)

bringen lassen, heißen quadratische Gleichungen.

Hauptmerkmal: Die Variable \(x\) kommt in der 2. Potenz (\(x^2\)), aber in keiner höheren Potenz vor.

Beispiele

  • \(3x^2 = 0\)
  • \(5x^2 - 10 = 0\)
  • \(x^2 + 2x = 0\)
  • \(-7x^2 - 4x + 11 = 0\)

Gegenbeispiele

  • \(4x + 8 = 0\) ist keine quadratische Gleichung,
    weil die Variable \(x\) nicht in der 2. Potenz vorkommt.
  • \(2x^3 + 3x^2 - 7 = 0\) ist keine quadratische Gleichung,
    weil die Variable \(x\) in einer höheren als der 2. Potenz vorkommt.

Darstellungsformen

Für jede quadratische Gleichung gibt es verschiedene Darstellungsformen. Die beiden wichtigsten Formen sind die allgemeine Form und die Normalform. Sie unterscheiden sich so:

Der Koeffizient (Vorfaktor) von \(x^2\) ist
- in der allgemeinen Form ungleich \(1\)
- in der Normalform gleich \(1\)

Zur Erinnerung
Wenn der Koeffizient gleich \(1\) ist, schreiben wir ihn nicht extra auf, denn \(1 \cdot x^2 = x^2\).

Beispiele

  • \(2x^2 + 4x + 1 = 0\) ist eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form.
    (Begründung: Der Koeffizient von \(x^2\) ist ungleich \(1\).)
  • \(x^2 + 2x + 0{,}5 = 0\) ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    (Begründung: Der Koeffizient von \(x^2\) ist gleich \(1\).)

Allgemeine Form

\(ax^2 + bx + c = 0\) heißt allgemeine Form einer quadratischen Gleichung.

Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen auf diese Form bringen.

Beispiele

  • Handelt es sich bei \(x (x^2 + 4) + 1 = x^3 - 2x^2\) um eine quadratische Gleichung?

    Wir überprüfen das, indem wir versuchen, die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu bringen.

    \(\begin{align*}
    x (x^2 + 4) + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}|\text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px]
    x^3 + 4x + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}| -x^3} \\[5px]
    4x + 1 &= - 2x^2 &&{\color{gray}| +2x^2} \\[5px]
    2x^2 + 4x + 1 &= 0
    \end{align*}\)

    Antwort: Ja, es handelt es sich um eine quadratische Gleichung.

  • Handelt es sich bei \(x (x^2 + 4) + 1 = - 2x^2 + 4x\) um eine quadratische Gleichung?

    \(\begin{align*}
    x (x^2 + 4) + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}|\text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px]
    x^3 + 4x + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}| +2x^2} \\[5px]
    x^3 + 2x^2 + 4x + 1 &= 4x &&{\color{gray}| -4x} \\[5px]
    x^3 + 2x^2 + 1 &= 0
    \end{align*}\)

    Antwort: Nein, es handelt es sich nicht um eine quadratische Gleichung, denn die Variable \(x\) kommt in einer höheren als der 2. Potenz vor.

Anmerkung

Wenn eine quadratische Gleichung in der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) gegeben ist, dann können wir \(ax^2\) als quadratisches Glied, \(bx\) als lineares Glied und \(c\) als absolutes Glied bezeichnen.

Normalform

Die Normalform ist die einfachste Form einer quadratischen Gleichung: Ihr Vorteil gegenüber der allgemeinen Form ist, dass die Rechenschritte zum Lösen der Gleichung einfacher sind.

\(x^2 + px + q = 0\) heißt Normalform einer quadratischen Gleichung.

Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen auf diese Form bringen. Dazu müssen wir die allgemeine Form lediglich durch den Vorfaktor von \(x^2\) (also \(a\)) dividieren.

Beispiel

  • Berechne die Normalform der quadratischen Gleichung \(2x^2 + 4x + 1 = 0\).

    \(\begin{align*}
    {\color{red}2}x^2 + 4x + 1 &= 0 &&{\color{red}|:2} \\[5px]
    \frac{{\color{red}2}x^2 + 4x + 1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px]
    \frac{{\color{red}2}x^2}{\color{red}2} + \frac{4x}{\color{red}2} + \frac{1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px]
    x^2 + 2x + 0{,}5 &= 0
    \end{align*}\)

Anmerkung

Wenn eine quadratische Gleichung in der Form \(x^2 + px + q = 0\) gegeben ist, dann können wir \(x^2\) als quadratisches Glied, \(px\) als lineares Glied und \(q\) als absolutes Glied bezeichnen.

Arten

Es gibt vier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen. Die Einteilung basiert auf dem Vorhandensein des linearen und des absoluten Glieds:

Quadratische Gleichungen, bei denen das lineare Glied nicht vorhanden ist, heißen reinquadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichungen, bei denen das lineare Glied vorhanden ist, heißen gemischtquadratische Gleichungen.

Ein Sonderfall ergibt sich jeweils, wenn (zusätzlich) das absolute Glied fehlt.

Nur wenn du in der Lage bist, diese vier Arten voneinander zu unterscheiden, kannst du das jeweils am besten geeignetste Lösungsverfahren auswählen und anwenden.

Reinquadratische Gleichungen

Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

\(ax^2 + c = 0 \quad (a, c \in \mathbb{R}; a \neq 0)\)

bringen lassen, heißen reinquadratische Gleichungen.

Beispiele

  • \(3x^2 = 0\) ist eine reinquadratische Gleichung ohne Absolutglied.
  • \(5x^2 - 10 = 0\) ist eine reinquadratische Gleichung mit Absolutglied.

Gemischtquadratische Gleichungen

Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

\(ax^2 + bx + c = 0 \quad (a, b, c \in \mathbb{R}; a, b \neq 0)\)

bringen lassen, heißen gemischtquadratische Gleichungen.

Beispiele

  • \(x^2 + 2x = 0\) ist eine gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied.
  • \(-7x^2 - 4x + 11 = 0\) ist eine gemischtquadratische Gleichung mit Absolutglied.

Quadratische Gleichungen lösen

Die Zahlen, die wir für \(x\) einsetzen dürfen, stammen aus der sog. Definitionsmenge. Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung. Die Lösungen werden in der Lösungsmenge zusammengefasst.

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.

Der obige Satz gilt nur, wenn die Definitionsmenge der Menge der reellen Zahlen entspricht: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\). In der Schule ist genau das der Fall. Im Studium gilt dagegen oftmals: \(\mathbb{D} = \mathbb{C}\).

Wie bereits erwähnt, gibt es für alle vier Arten quadratischer Gleichungen ein Lösungsverfahren, das für die jeweilige Art am besten geeignet ist. Der 1. Fall ist sogar ohne Rechnung lösbar.

1. Fall: \(ax^2 = 0\)

Reinquadratische Gleichungen ohne Absolutglied besitzen als einzige Lösung die Null.

Beispiele

  • \(x^2 = 0 \quad\quad\quad \Rightarrow \mathbb{L} = \{0\}\)
  • \(3x^2 = 0 \quad\quad\;\; \Rightarrow \mathbb{L} = \{0\}\)
  • \(-0{,}5x^2 = 0 \quad \Rightarrow \mathbb{L} = \{0\}\)

2. Fall: \(ax^2 + c = 0\)

Reinquadratische Gleichungen mit Absolutglied lösen wir folgendermaßen:

1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(x^2 - 9 = 0\)

    1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

    \(\begin{align*}
    x^2 - 9 &= 0 &&{\color{gray}| +9} \\[5px]
    x^2 - 9 {\color{gray}\;+\;9} &= 0 {\color{gray}\;+\;9} \\[5px]
    x^2 &= 9
    \end{align*}\)

    2) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    x^2 &= 9 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{9}}} \\[5px]
    x &= \pm\sqrt{9} \\[5px]
    x &= \pm 3
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow x_1 = -3 \text{ und } x_2 = 3\)

    3) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-3; 3\}\)

  • \(2x^2 + 8 = 0\)

    1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}| -8} \\[5px]
    2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px]
    2x^2 &= -8 &&{\color{gray}| :2} \\[5px]
    \frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px]
    x^2 &= -4
    \end{align*}\)

    2) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px]
    x &= \pm\sqrt{-4}
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow\) Die Wurzel einer negativen Zahl ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert!
    \(\Rightarrow\) Es gibt keine (reellen) Lösungen!

    3) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\}\)

    Anmerkung: Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

3. Fall: \(ax^2 + bx = 0\)

Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied lösen wir folgendermaßen:

1) \(x\) ausklammern
2) Faktoren gleich Null setzen
3) Lösungsmenge aufschreiben

zu 1) Ausklammern

zu 2) Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
        (\(\rightarrow\) Satz vom Nullprodukt)

Beispiele

  • \(x^2 + 9x = 0\)

    1) \(x\) ausklammern

    \(x \cdot (x + 9) = 0\)

    2) Faktoren gleich Null setzen

    \(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

    1. Faktor

    \(x = 0\)

    \(\Rightarrow x_1 = 0\)

    2. Faktor

    \(\begin{align*}
    x + 9 &= 0 &&{\color{gray}| -9} \\[5px]
    x + 9 {\color{gray}\;-\;9} &= 0 {\color{gray}\;-\;9} \\[5px]
    x &= -9
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow x_2 = -9\)

    3) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-9; 0\}\)

  • \(-2x^2 + 4x = 0\)

    1) \(x\) ausklammern

    \(x \cdot (-2x + 4) = 0\)

    2) Faktoren gleich Null setzen

    \(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

    1. Faktor

    \(x = 0\)

    \(\Rightarrow x_1 = 0\)

    2. Faktor

    \(\begin{align*}
    -2x + 4 &= 0 &&{\color{gray}| -4} \\[5px]
    -2x + 4 {\color{gray}\;-\;4} &= 0 {\color{gray}\;-\;4} \\[5px]
    -2x &= -4 &&{\color{gray}| :(-2)} \\[5px]
    \frac{-2x}{\color{gray}-2} &= \frac{-4}{\color{gray}-2} \\[5px]
    x &= 2
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow x_2 = 2\)

    3) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{0; 2\}\)

4. Fall: \(ax^2 + bx + c = 0\)

Gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied lösen wir mit einem dieser Verfahren:

Neben den oben genannten exakten Verfahren gibt es noch ein Verfahren, das Näherungslösungen produziert: Quadratische Gleichungen grafisch lösen.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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