Lösungsmenge einer Gleichung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Lösungsmenge einer Gleichung ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Definitionsmenge einer Gleichung
(Welche Werte darf ich für
)$x$einsetzen? - Lösung einer Gleichung
($x$-Wert aus$\mathbb{D}$, der zu einer wahren Aussage führt)
Definition
Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Mathematiker fassen die Lösungen in einer Menge zusammen:
Die Lösungsmenge enthält alle Elemente der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage führen.
Aus verschiedenen Arten von Lösungsmengen folgen verschiedene Arten von Gleichungen.
Einteilung von Gleichungen nach ihrer Lösungsmenge
Gleichungen können wir grundsätzlich in unlösbare und lösbare Gleichungen einteilen:
Bei unlösbaren Gleichungen führt jede Zahl der Definitionsmenge beim Einsetzen für $x$ zu einer falschen Aussage.$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist leer.
Bei lösbaren Gleichungen führt mindestens eine Zahl der Definitionsmenge beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage.$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist nicht leer.
Unlösbare Gleichungen
Gleichungen, deren Lösungsmenge leer ist, heißen unlösbar.
Mathematiker bezeichnen unlösbare Gleichungen
oft auch als unerfüllbare Gleichungen
.
Gleichung $x + 3 = 2$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{N}$
($\mathbb{N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{\,\} $$
Gleichung $x + 1 = 1{,}5$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Z}$
($\mathbb{Z}$ ist die Menge der ganzen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{\,\} $$
Lösbare Gleichungen
Gleichungen, deren Lösungsmenge nicht leer ist, heißen lösbar.
Mathematiker bezeichnen lösbare Gleichungen
oft auch als erfüllbare Gleichungen
.
Gleichung $x + 3 = 2$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Z}$
($\mathbb{Z}$ ist die Menge der ganzen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{-1\} $$
Gleichung $x + 1 = 1{,}5$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Q}$
($\mathbb{Q}$ ist die Menge der rationalen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{0{,}5\} $$
Anmerkung
Die obigen Beispiele haben gezeigt, dass es durch Erweiterung der Definitionsmenge manchmal möglich ist, aus einer unlösbaren eine lösbare Gleichung zu machen.
Lösbare Gleichungen können wir weiter in teilgültige und allgemeingültige Gleichungen einteilen:
Bei teilgültigen Gleichungen führt mindestens ein Element, aber nicht alle Elemente der Definitionsmenge beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage.$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist weder leer noch stimmt sie mit der Definitionsmenge überein.
Bei allgemeingültigen Gleichungen führen alle Zahlen der Definitionsmenge beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage.$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge stimmt mit der Definitionsmenge überein.
Teilgültige Gleichungen
Gleichungen, deren Lösungsmenge weder leer ist noch mit der Definitionsmenge übereinstimmt, heißen teilgültig.
Gleichung $x + 3 = 2$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Q}$
($\mathbb{Q}$ ist die Menge der rationalen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{-1\} $$
Gleichung $x + 1 = 1{,}5$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
($\mathbb{R}$ ist die Menge der reellen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{0{,}5\} $$
Allgemeingültige Gleichungen
Gleichungen, deren Lösungsmenge mit der Definitionsmenge übereinstimmt, heißen allgemeingültig.
Gleichung $2x + x = 3x$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
($\mathbb{R}$ ist die Menge der reellen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} =\mathbb{R} $$
Gleichung $x - x = 0$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
($\mathbb{R}$ ist die Menge der reellen Zahlen)
$$ \Rightarrow \mathbb{L} =\mathbb{R} $$
Anmerkung
Allgemeingültige Gleichungen kennen wir auch als Formeln
(z. B. Binomische Formeln).
Ausblick
In diesem Kapitel haben wir die Lösungsmengen einfach hingeschrieben. Im nächsten Kapitel lernen wir endlich, wie man Lösungsmengen rechnerisch bestimmt (siehe Gleichungen lösen).
