Lösungsmenge einer Gleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Lösungsmenge einer Gleichung ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Mathematiker fassen die Lösungen in einer Menge zusammen:

Die Lösungsmenge enthält alle Elemente der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage führen.

Aus verschiedenen Arten von Lösungsmengen folgen verschiedene Arten von Gleichungen.

Einteilung von Gleichungen nach ihrer Lösungsmenge

Gleichungen können wir grundsätzlich in unlösbare und lösbare Gleichungen einteilen:

Bei unlösbaren Gleichungen führt jede Zahl der Definitionsmenge beim Einsetzen für \(x\) zu einer falschen Aussage.
\(\Rightarrow\) Die Lösungsmenge ist leer.

Bei lösbaren Gleichungen führt mindestens eine Zahl der Definitionsmenge beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage.
\(\Rightarrow\) Die Lösungsmenge ist nicht leer.

1) Unlösbare Gleichungen

Gleichungen, deren Lösungsmenge leer ist, heißen unlösbar.

Mathematiker bezeichnen „unlösbare Gleichungen“ oft auch als „unerfüllbare Gleichungen“.

Beispiele

  • Gleichung \(x + 3 = 2\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{N}\) (Menge der natürlichen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{\,\}\)
  • Gleichung \(x + 1 = 1{,}5\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{Z}\) (Menge der ganzen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{\,\}\)

2) Lösbare Gleichungen

Gleichungen, deren Lösungsmenge nicht leer ist, heißen lösbar.

Mathematiker bezeichnen „lösbare Gleichungen“ oft auch als „erfüllbare Gleichungen“.

Beispiele

  • Gleichung \(x + 3 = 2\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{Z}\) (Menge der ganzen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{-1\}\)
  • Gleichung \(x + 1 = 1{,}5\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{Q}\) (Menge der rationalen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{0{,}5\}\)

Anmerkung

Die obigen Beispiele haben gezeigt, dass es durch Erweiterung der Definitionsmenge manchmal möglich ist, aus einer unlösbaren eine lösbare Gleichung zu machen.

Lösbare Gleichungen können wir weiter in teilgültige und allgemeingültige Gleichungen einteilen:

Bei teilgültigen Gleichungen führt mindestens ein Element, aber nicht alle Elemente der Definitionsmenge beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage.
\(\Rightarrow\) Die Lösungsmenge ist weder leer noch stimmt sie mit der Definitionsmenge überein.

Bei allgemeingültigen Gleichungen führen alle Zahlen der Definitionsmenge beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage.
\(\Rightarrow\) Die Lösungsmenge stimmt mit der Definitionsmenge überein.

2.1) Teilgültige Gleichungen

Gleichungen, deren Lösungsmenge weder leer ist noch mit der Definitionsmenge übereinstimmt, heißen teilgültig.

Beispiel

  • Gleichung \(x + 3 = 2\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{Q}\) (Menge der rationalen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{-1\}\)
  • Gleichung \(x + 1 = 1{,}5\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) (Menge der reellen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} = \{0{,}5\}\)

2.2) Allgemeingültige Gleichungen

Gleichungen, deren Lösungsmenge mit der Definitionsmenge übereinstimmt, heißen allgemeingültig.

Beispiele

  • Gleichung \(2x + x = 3x\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) (Menge der reellen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} =\mathbb{R}\)
  • Gleichung \(x - x = 0\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) (Menge der reellen Zahlen)
    \(\Rightarrow\) \(\mathbb{L} =\mathbb{R}\)

Anmerkung

Allgemeingültige Gleichungen kennen wir auch als „Formeln“ (z. B. Binomische Formeln).

Ausblick

In diesem Kapitel haben wir die Lösungsmengen einfach hingeschrieben. Im nächsten Kapitel lernen wir endlich, wie man Lösungsmengen rechnerisch bestimmt (\(\rightarrow\) Gleichungen lösen).