Definitionsmenge einer Gleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Definitionsmenge einer Gleichung ist.

Synonym

  • Definitionsbereich einer Gleichung

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Gegeben sei eine Gleichung mit einer Variablen z. B. \(x + 1 = 2\). Unser Ziel ist es herauszufinden, für welche Einsetzungen für \(x\) eine wahre Aussage entsteht. Die Lösungsmenge einer Gleichung hängt davon ab, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden dürfen. Dies führt uns zum Begriff der Definitionsmenge, also der Menge aller erlaubten Einsetzungen. Wenn keine Definitionsmenge angegeben ist, müssen wir die Definitionsmenge bestimmen.

Die Bestimmung der Definitionsmenge läuft in drei einfachen Schritten ab:

1) Du lässt als Einsetzungen für \(x\) alle Zahlen zu, die du kennst.

2) Aus dieser Menge entfernst du alle Einsetzungen, die gegen Rechenregeln verstoßen.

3) Aus dieser Menge entfernst du alle Einsetzungen, die inhaltlich nicht sinnvoll sind.

1) Was könnte ich für \(x\) einsetzen?

Grundsätzlich könntest du alle Zahlen einsetzen, die du kennst.

Die Grundmenge ist die Menge aller Werte, die man prinzipiell einsetzen könnte.

Vereinfacht gesagt ist damit die größte Zahlenmenge gemeint, die du derzeit kennst: In der Schule beschränkt sich die Gleichungslehre normalerweise auf die Menge der reellen Zahlen. Wenn nichts anderes angegeben ist, gilt deshalb \(\mathbb{G} = \mathbb{R}\).

2) Was kann ich für \(x\) einsetzen?

Der Verstoß einer Einsetzung gegen eine Rechenregel erfordert eine Einschränkung.

Die maximale Definitionsmenge enthält alle Elemente der Grundmenge, die man ohne Verstoß gegen Rechenregeln einsetzen kann.

Beispiele

  • Gleichung: \(x + 1 = 2\)
    Maximale Definitionsmenge: \(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R}\)
    (Wir können für \(x\) alle reellen Zahlen einsetzen, ohne dass wir gegen eine Rechenregel verstoßen.)

  • Gleichung: \(\frac{1}{1-x} = 3\)
    Maximale Definitionsmenge: \(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R}\setminus\{1\}\)
    (Wenn wir für \(x = 1\) einsetzen, wird der Nenner des Bruchs Null. Eine Division durch Null ist aber nicht erlaubt. Wir müssen deshalb die \(1\) aus der Definitionsmenge ausschließen.)

Anmerkung

\(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R}\setminus\{1\}\) sprechen wir „D max ist R ohne 1“ und bedeutet schlicht und einfach, dass die maximale Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen abzüglich der 1 ist. Bei diesem \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) („R ohne 1“) handelt es sich mathematisch betrachtet um eine Differenzmenge.

3) Was darf ich für \(x\) einsetzen?

Die inhaltliche Bedeutung der Variable kann eine (weitere) Einschränkung erfordern.

Die Definitionsmenge enthält alle Elemente der max. Definitionsmenge, die als Einsetzungen im Rahmen der Aufgabenstellung sinnvoll sind.

Beispiele

  • Gleichung: \(x + 1 = 2\)
    Maximale Definitionsmenge: \(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R}\)
    Bedeutung der Variable der Aufgabenstellung: \(x\) steht für eine Anzahl an Schülern
    Definitionsmenge: \(\mathbb{D} = \mathbb{N}\)
    (Wir dürfen nur natürliche Zahlen für \(x\) einsetzen: Es gibt nicht \(0{,}5\) oder \(\sqrt{2}\) Schüler!)

  • Gleichung: \(x + 1 = 2\)
    Maximale Definitionsmenge: \(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R}\)
    Bedeutung der Variable der Aufgabenstellung: \(x\) steht für die Dauer eines Spiels
    Definitionsmenge: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}\)
    (Wir dürfen nur nichtnegative reelle Zahlen für \(x\) einsetzen: Eine Dauer ist nie negativ!)

Anmerkung

  • In den einfachsten Fällen gilt: \(\mathbb{G} = \mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{D} = \mathbb{R}\), d. h. wir dürfen alle reellen Zahlen für \(x\) einsetzen, ohne dass wir gegen eine Rechenregel verstoßen oder es zu inhaltlich nicht sinnvollen Lösungen kommt.
  • Leider grenzen nicht alle Mathematiker die drei oben erwähnten Begriffe so eindeutig ab wie wir. In vielen Schulbüchern wird „Grundmenge“ als Synonym für „Definitionsmenge“ verwendet: Mit dem Arbeitsauftrag „Bestimme die Grundmenge“ ist also in der Regel dasselbe gemeint wie mit „Bestimme die Definitionsmenge“.
  • Wenn die Definitionsmenge einer Gleichung in der Aufgabenstellung angegeben ist, handelt es sich dabei entweder um die maximale Definitionsmenge oder eine aus inhaltlichen oder willkürlichen (!) Gründen eingeschränkte Definitionsmenge. Der Aufgabensteller kann die Definitionsmenge nach seinem Belieben einschränken!

Ausblick

Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung. Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen werden in der Lösungsmenge zusammengefasst.

Unser Ziel ist es, die Lösungsmenge zu bestimmen (\(\rightarrow\) Gleichungen lösen).