Potenzgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzgleichungen sind und wie man sie löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
Definition
Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung, die aus nur einer Potenz einer Variable und einer Konstanten besteht:
$$ x^n = a $$
Potenzgleichungen lösen
Die Vorgehensweise unterscheidet sich danach, wie der Exponent $n$ aussieht:
- Typ:
$x^n = a$mit$n \in \mathbb{N}$ - Typ:
$x^{-n} = a$mit$n \in \mathbb{N}$ - Typ:
$x^{\frac{m}{n}} = a$mit$n \in \mathbb{N}$und mit$m \in \mathbb{Z}$
Grundsätzlich lösen wir Potenzgleichungen durch Wurzelziehen. Das Problem ist, dass das Wurzelziehen im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung ist. Um zu verhindern, das Lösungen verloren gehen, muss man bei geraden Exponenten $n$ Betragsstriche setzen:
- Wenn
$n$gerade ist, gilt:$\sqrt[n]{x^n} = |x|$. - Wenn
$n$ungerade ist, gilt:$\sqrt[n]{x^n} = x$.
Typ 1
$x^n = a$ ($n \in \mathbb{N}$; $a \in \mathbb{R}$)
Vorgehensweise
$n$-te Wurzel ziehen
Mögliche Lösungen
$\boldsymbol{n}$ ist gerade | $\boldsymbol{n}$ ist ungerade | |
|---|---|---|
$a > 0$ | $\mathbb{L} = \{-\sqrt[n]{a};+\sqrt[n]{a}\}$ | $\mathbb{L} = \{+\sqrt[n]{a}\}$ |
$a = 0$ | $\mathbb{L} = \{0\}$ | $\mathbb{L} = \{0\}$ |
$a < 0$ | $\mathbb{L} = \{\}$ | $\mathbb{L} = \{-\sqrt[n]{|a|}\}$ |
$$ \begin{align*} x^2 &= 4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \sqrt{4} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|} \\[5px] |x| &= 2 \\[5px] x &= \pm 2 \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^2 = 4$ ist $\mathbb{L} = \{-2;+2\}$.
Ohne das Setzen der Betragsstriche wäre die Lösung $x = -2$ verloren gegangen!
$$ \begin{align*} x^2 &= 0 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \sqrt{0} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|} \\[5px] |x| &= 0 \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^2 = 0$ ist $\mathbb{L} = \{0\}$.
$$ \begin{align*} x^2 &= -4 \end{align*} $$
Für jedes beliebige $x$ ist der Term $x^2$ immer gleich oder größer $0$ und niemals $-4$.
Die Lösungsmenge der Potenzgleichung $x^2 = -4$ ist leer: $\mathbb{L} = \{\}$.
$$ \begin{align*} x^3 &= 8 &&{\color{gray}|\, \sqrt[3]{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt[3]{x^3} &= \sqrt[3]{8} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ ungerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = x} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^3 = 8$ ist $\mathbb{L} = \{2\}$.
$$ \begin{align*} x^3 &= 0 &&{\color{gray}|\, \sqrt[3]{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt[3]{x^3} &= \sqrt[3]{0} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ ungerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = x} \\[5px] x &= 0 \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^3 = 0$ ist $\mathbb{L} = \{0\}$.
Gesucht ist die Lösung der Gleichung $x^3 = -8$.
Wenn wir die Wurzel ziehen, stoßen wir auf ein Problem: $\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{-8}$.
Das Radizieren ist für negative Radikanden nicht definiert!
Wir wenden einen Trick an, um das negative Vorzeichen zu beseitigen: Wir quadrieren.
$$ \begin{align*} x^3 &= -8 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] (x^3)^2 &= (-8)^2 \\[5px] x^6 &= 64 &&{\color{gray}|\, \sqrt[6]{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt[6]{x^6} &= \sqrt[6]{64} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|} \\[5px] |x| &= 2 \\[5px] x &= \pm 2 \end{align*} $$
Quadrieren (oder allgemeiner: Potenzieren) ist i. Allg. keine Äquivalenzumformung: Durch das Potenzieren können Lösungen (sog. Scheinlösungen) hinzukommen, es gehen aber keine verloren. Um Scheinlösungen auszusortieren, machen wir die Probe, d. h., wir setzen die möglichen Lösungen in die Ausgangsgleichung ein. Nur die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, gehören auch wirklich zur Lösung der Potenzgleichung.
$$ \begin{align*} x^3 &= -8 &&{\color{gray}|\, x_1 = -2} \\[5px] ({\color{red}-2})^3 &= -8 \\[5px] -8 &= -8 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}} \end{align*} $$
$x_1 = -2$ gehört zur Lösung der Potenzgleichung.
$$ \begin{align*} x^3 &= -8 &&{\color{gray}|\, x_2 = 2} \\[5px] {\color{red}2}^3 &= -8 \\[5px] 8 &= -8 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$x_2 = 2$ ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.
Die Lösung der Potenzgleichung $x^3 = -8$ ist $\mathbb{L} = \{-2\}$.
Typ 2
$x^{-n} = a$ ($n \in \mathbb{N}$; $a \in \mathbb{R}$)
Vorgehensweise
Umformung der Gleichung zu Typ 1 (falls $a \neq 0$)
Mögliche Lösungen
$a = 0$: Es gibt keine Lösung, d. h.$\mathbb{L} = \{\}$.$a \neq 0$: Die Gleichung$x^{-n} = a$ist äquivalent zu$x^n = \frac{1}{a}$.
$$ \begin{align*} x^{-2} &= 3 &&{\color{gray}| \text{ Potenzgesetz anwenden: } x^{-n} = \frac{1}{x^n}} \\[5px] \frac{1}{x^2} &= 3 &&{\color{gray}| \text{ Kehrwert}} \\[5px] x^2 &= \frac{1}{3} &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \sqrt{\frac{1}{3}} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|} \\[5px] |x| &= \sqrt{\frac{1}{3}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^{-2} = 3$ ist $\mathbb{L} = \left\{-\sqrt{\frac{1}{3}};+\sqrt{\frac{1}{3}}\right\}$.
Typ 3
$x^{\frac{m}{n}} = a$ ($m \in \mathbb{Z}$; $n \in \mathbb{N}$; $a \in \mathbb{R}$)
Vorgehensweise
Potenzieren mit $n$
Ist der Exponent $\frac{m}{n}$ keine ganze Zahl, so sind die Gleichungen in $\mathbb{R}^{-}$ nicht definiert.
In $\mathbb{R}_{0}^{+}$ sind die Gleichungen $x^{\frac{m}{n}} = a$ und $\sqrt[n]{x^m} = a$ äquivalent.
$$ \begin{align*} x^{\frac{2}{3}} &= 4 &&{\color{gray}| \text{ Potenzieren mit 3}} \\[5px] (x^{\frac{2}{3}})^3 &= 4^3 \\[5px] x^2 &= 64 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \sqrt{64} &&{\color{gray}| \text{ Da $n$ gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|} \\[5px] |x| &= 8 \\[5px] x &= \pm 8 \end{align*} $$
$x_1 = -8$ gehört nicht zur Definitionsmenge $\mathbb{R}_{0}^{+}$.
$x_2 = 8$ ist eine mögliche Lösung.
Da Potenzieren i. Allg. keine Äquivalenzumformung ist, ist eine Probe unerlässlich.
$$ \begin{align*} x^{\frac{2}{3}} &= 4 &&{\color{gray}|\; x_2 = 8} \\[5px] {\color{red}8}^{\frac{2}{3}} &= 4 \\[5px] 4 &= 4 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}} \end{align*} $$
Die Lösung der Potenzgleichung $x^{\frac{2}{3}} = 4$ ist $\mathbb{L} = \{8\}$.
Anmerkung
Dieses Beispiel hätte man auch als Wurzelgleichung $\sqrt[3]{x^2} = 4$ formulieren können.
