Potenzgleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzgleichungen sind und wie man sie löst.

Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung,
die aus nur einer Potenz einer Variablen und einer Konstanten besteht:

\(x^n = a\)

Im Folgenden werden wir sehen, dass man Potenzgleichungen durch Wurzelziehen löst. Das Problem ist, dass das Wurzelziehen i. Allg. keine Äquivalenzumformung ist. Um zu verhindern, das Lösungen verloren gehen, muss man bei geraden Exponenten \(n\) Betragsstriche setzen:

Wenn \(n\) gerade ist, gilt: \(\sqrt[n]{x^n} = |x|\) (siehe Beispiel 1).

Wenn \(n\) ungerade ist, gilt: \(\sqrt[n]{x^n} = x\) (siehe Beispiel 4).

Potenzgleichungen lösen

Die Vorgehensweise unterscheidet sich danach, wie der Exponent \(n\) aussieht:

  1. Typ: \(x^n = a\) mit \(n \in \mathbb{N}\)
  2. Typ: \(x^{-n} = a\) mit \(n \in \mathbb{N}\)
  3. Typ: \(x^{\frac{m}{n}} = a\) mit \(n \in \mathbb{N}\) und mit \(m \in \mathbb{Z}\)

Typ 1

\(x^n = a\)   (\(n \in \mathbb{N}\); \(a \in \mathbb{R}\))

Vorgehensweise

\(n\)-te Wurzel ziehen

Mögliche Lösungen

  \(n\) ist gerade \(n\) ist ungerade
\(a > 0\) \(\mathbb{L} = \{-\sqrt[n]{a};+\sqrt[n]{a}\}\) \(\mathbb{L} = \{+\sqrt[n]{a}\}\)
\(a = 0\) \(\mathbb{L} = \{0\}\) \(\mathbb{L} = \{0\}\)
\(a < 0\) \(\mathbb{L} = \{\}\) \(\mathbb{L} = \{-\sqrt[n]{|a|}\}\)

Beispiel 1

\(\begin{align*}
x^2 &= 4 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{x^2} &= \sqrt{4} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|}\\[5pt]
|x| &= 2\\[5pt]
x &= \pm 2
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^2 = 4\) ist \(\mathbb{L} = \{-2;+2\}\).

Ohne das Setzen der Betragsstriche wäre die Lösung \(x = -2\) verloren gegangen!

Beispiel 2

\(\begin{align*}
x^2 &= 0 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{x^2} &= \sqrt{0} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|}\\[5pt]
|x| &= 0
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^2 = 0\) ist \(\mathbb{L} = \{0\}\).

Beispiel 3

\(\begin{align*}
x^2 &= -4
\end{align*}\)

Für jedes beliebige \(x\) ist der Term \(x^2\) immer gleich oder größer \(0\) und niemals \(-4\).
Die Lösungsmenge der Potenzgleichung \(x^2 = -4\) ist leer: \(\mathbb{L} = \{\}\).

Beispiel 4

\(\begin{align*}
x^3 &= 8 &&{\color{gray}| \sqrt[3]{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt[3]{x^3} &= \sqrt[3]{8} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) ungerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = x}\\[5pt]
x &= 2
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^3 = 8\) ist \(\mathbb{L} = \{2\}\).

Beispiel 5

\(\begin{align*}
x^3 &= 0 &&{\color{gray}| \sqrt[3]{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt[3]{x^3} &= \sqrt[3]{0} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) ungerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = x}\\[5pt]
x &= 0
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^3 = 0\) ist \(\mathbb{L} = \{0\}\).

Beispiel 6

Gesucht ist die Lösung der Gleichung \(x^3 = -8\).
Wenn wir die Wurzel ziehen, stoßen wir auf ein Problem: \(\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{-8}\).
Das Radizieren ist für negative Radikanden nicht definiert!

Wir wenden einen Trick an, um das negative Vorzeichen zu beseitigen: Wir quadrieren.

\(\begin{align*}
x^3 &= -8 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}}\\[5pt]
(x^3)^2 &= (-8)^2 \\[5pt]
x^6 &= 64 &&{\color{gray}| \sqrt[6]{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt[6]{x^6} &= \sqrt[6]{64} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|}\\[5pt]
|x| &= 2 \\[5pt]
x &= \pm 2
\end{align*}\)

Quadrieren (oder allgemeiner: Potenzieren) ist i. Allg. keine Äquivalenzumformung: Durch das Potenzieren können Lösungen (sog. Scheinlösungen) hinzukommen, es gehen aber keine verloren. Um Scheinlösungen auszusortieren, machen wir die Probe, d. h., wir setzen die möglichen Lösungen in die Ausgangsgleichung ein. Nur die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, gehören auch wirklich zur Lösung der Potenzgleichung.

\(\begin{align*}
x^3 &= -8 &&{\color{gray}|\; x_1 = -2}\\[5pt]
({\color{red}-2})^3 &= -8 \\[5pt]
-8 &= -8 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_1 = -2\) gehört zur Lösung der Potenzgleichung.

\(\begin{align*}
x^3 &= -8 &&{\color{gray}|\; x_2 = 2}\\[5pt]
{\color{red}2}^3 &= -8 \\[5pt]
8 &= -8 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}}
\end{align*}\)

\(x_2 = 2\) ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^3 = -8\) ist \(\mathbb{L} = \{-2\}\).

Typ 2

\(x^{-n} = a\)   (\(n \in \mathbb{N}\); \(a \in \mathbb{R}\))

Vorgehensweise

Umformung der Gleichung zu Typ 1 (falls \(a \neq 0\))

Mögliche Lösungen

  • \(a = 0\): Es gibt keine Lösung, d. h. \(\mathbb{L} = \{\}\).
  • \(a \neq 0\): Die Gleichung \(x^{-n} = a\) ist äquivalent zu \(x^n = \frac{1}{a}\).

Beispiel 7

\(\begin{align*}
x^{-2} &= 3 &&{\color{gray}| \text{ Potenzgesetz anwenden: } x^{-n} = \frac{1}{x^n}}\\[5pt]
\frac{1}{x^2} &= 3 &&{\color{gray}| \text{ Kehrwert}}\\[5pt]
x^2 &= \frac{1}{3}&&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{x^2} &= \sqrt{\frac{1}{3}} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|}\\[5pt]
|x| &= \sqrt{\frac{1}{3}} \\[5pt]
x &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}}
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^{-2} = 3\) ist \(\mathbb{L} = \{-\sqrt{\frac{1}{3}};+\sqrt{\frac{1}{3}}\}\).

Typ 3

\(x^{\frac{m}{n}} = a\)   (\(m \in \mathbb{Z}\); \(n \in \mathbb{N}\); \(a \in \mathbb{R}\))

Vorgehensweise

Potenzieren mit \(n\)

Ist der Exponent \(\frac{m}{n}\) keine ganze Zahl, so sind die Gleichungen in \(\mathbb{R}^{-}\) nicht definiert.
In \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) sind die Gleichungen \(x^{\frac{m}{n}} = a\) und \(\sqrt[n]{x^m} = a\) äquivalent.

Beispiel 8

\(\begin{align*}
x^{\frac{2}{3}} &= 4 &&{\color{gray}| \text{ Potenzieren mit 3}}\\[5pt]
(x^{\frac{2}{3}})^3 &= 4^3 \\[5pt]
x^2 &= 64 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{x^2} &= \sqrt{64} &&{\color{gray}| \text{ Da \(n\) gerade ist, gilt: } \sqrt[n]{x^n} = |x|}\\[5pt]
|x| &= 8 \\[5pt]
x &= \pm 8
\end{align*}\)

\(x_1 = -8\) gehört nicht zur Definitionsmenge \(\mathbb{R}_{0}^{+}\).

\(x_2 = 8\) ist eine mögliche Lösung.
Da Potenzieren i. Allg. keine Äquivalenzumformung ist, ist eine Probe unerlässlich.

\(\begin{align*}
x^{\frac{2}{3}} &= 4 &&{\color{gray}|\; x_2 = 8}\\[5pt]
{\color{red}8}^{\frac{2}{3}} &= 4 \\[5pt]
4 &= 4 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}}
\end{align*}\)

Die Lösung der Potenzgleichung \(x^{\frac{2}{3}} = 4\) ist \(\mathbb{L} = \{8\}\).

Das letzte Beispiel hätte man auch als Wurzelgleichung \(\sqrt[3]{x^2} = 4\) formulieren können.

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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