Äquivalenzumformungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Äquivalenzumformungen sind.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Einfache Gleichungen lassen sich oft schon durch bloßes Nachdenken, Rückwärtsrechnen oder systematisches Probieren lösen. Bei etwas komplizierteren Gleichungen stoßen diese Lösungsverfahren aber schnell an ihre Grenzen. In so einem Fall empfiehlt es sich, die Gleichungen schrittweise zu vereinfachen und zwar solange, bis das \(x\) allein auf der linken Seite der Gleichung steht: Wir können dann nämlich die Lösungsmenge einfach ablesen!

Damit die Lösungsmenge der vereinfachten Gleichung mit der Lösungsmenge der Ausgangsgleichung übereinstimmt, sind nur bestimmte Umformungen erlaubt:

Umformungen einer Gleichung, bei denen die Lösungsmenge gleich bleibt, heißen Äquivalenzumformungen.

Aber welche Umformungen zählen eigentlich zu den Äquivalenzumformungen?

Umformungsregeln

a) Eine Seite der Gleichung umformen

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf einer der Seiten umstellen.

Wir dürfen jede Seite der Gleichung durch Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, Kürzen, Erweitern und Zusammenfassen gleichartiger Glieder vereinfachen.

Beispiele

  • Ausmultiplizieren

    \(\begin{align*}
    2(x + 3) &= 4x &&{\color{gray}| \text{ Terme vereinfachen}} \\[5px]
    2x + 6 &= 4x
    \end{align*}\)

  • Zusammenfassen gleichartiger Glieder

    \(\begin{align*}
    3x - 1 + 2x &= 5 + x - 4 &&{\color{gray}| \text{ Terme vereinfachen}} \\[5px]
    5x - 1 &= x + 1
    \end{align*}\)

b) Beide Seiten der Gleichung umformen

1. Seiten vertauschen

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf beiden Seiten vertauschen.

Wir dürfen die beiden Seiten der Gleichung vertauschen.

Beispiel

  • Seiten vertauschen

    \(\begin{align*}
    5x - 1 &= x + 1 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px]
    x + 1 &= 5x - 1
    \end{align*}\)

2. Term addieren

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir das gleiche Gewicht auf beiden Seiten hinzufügen.

Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren.

Beispiele

  • Zahl addieren

    \(\begin{align*}
    x - 5 &= 3 &&{\color{gray}| +5} \\[5px]
    x - 5 {\color{gray}\,+\,5} &= 3 {\color{gray}\,+\,5} \\[5px]
    x &= 8
    \end{align*}\)

3. Term subtrahieren

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir das gleiche Gewicht auf beiden Seiten wegnehmen.

Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term subtrahieren.

Beispiele

  • Zahl subtrahieren

    \(\begin{align*}
    x + 5 &= 3 &&{\color{gray}| -5} \\[5px]
    x + 5 {\color{gray}\,-\,5} &= 3 {\color{gray}\,-\,5} \\[5px]
    x &= -2
    \end{align*}\)

4. Mit Term (\(\neq 0\)) multiplizieren

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf beiden Seiten um denselben Faktor vermehren.

Wir dürfen beide Seiten der Gleichung mit demselben Term (\(\neq 0\)) multiplizieren.

Beispiele

  • Zahl multiplizieren

    \(\begin{align*}
    \frac{x + 2}{4} &= 3 &&{\color{gray}| \cdot 4} \\[5px]
    \frac{x + 2}{\cancel{4}} \cancel{{\color{gray}\,\cdot\,4}} &= 3 {\color{gray}\,\cdot\,4} &&{\color{gray}| \text{ Kürzen}}\\[5px]
    x + 2 &= 12
    \end{align*}\)

Anmerkung

Eine Multiplikation mit Null ist keine Äquivalenzumformung.
(Eine Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit Null führt immer zu der allgemeingültigen Gleichung \(0 = 0\). Hilft uns das bei der Lösungsfindung weiter? Auf keinsten!)

5. Durch Term (\(\neq 0\)) dividieren

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf beiden Seiten auf denselben Bruchteil vermindern.

Wir dürfen beide Seiten der Gleichung durch denselben Term (\(\neq 0\)) dividieren.

Beispiele

  • Zahl dividieren

    \(\begin{align*}
    4(x + 2) &= 12 &&{\color{gray}| : 4} \\[5px]
    \frac{\cancel{4}(x + 2)}{\cancel{{\color{gray}4}}}  &= 12 {\color{gray}\,\,:4} &&{\color{gray}| \text{ Kürzen}}\\[5px]
    x + 2 &= 3
    \end{align*}\)

Anmerkung

Eine Division durch Null ist keine Äquivalenzumformung.
(Eine Division durch Null ist in der Mathematik grundsätzlich nicht erlaubt!)

Ausblick

Leider können wir mithilfe von Äquivalenzumformungen nicht alle Gleichungen lösen. Manchmal ist es notwendig, Umformungen durchzuführen, die die Lösungsmenge verändern: Wir unterscheiden danach, ob bei diesen Umformungen Lösungen dazukommen (Gewinnumformungen) oder wegfallen (Verlustumformungen).