Äquivalenzumformungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Äquivalenzumformungen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Gleichungen lösen
Einordnung
Einfache Gleichungen lassen sich oft schon durch bloßes Nachdenken, Rückwärtsrechnen oder systematisches Probieren lösen. Bei etwas komplizierteren Gleichungen stoßen diese Lösungsverfahren aber schnell an ihre Grenzen. In so einem Fall empfiehlt es sich, die Gleichungen schrittweise zu vereinfachen und zwar solange, bis das $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht: Wir können dann nämlich die Lösungsmenge einfach ablesen!
Damit die Lösungsmenge der vereinfachten Gleichung mit der Lösungsmenge der Ausgangsgleichung übereinstimmt, sind nur bestimmte Umformungen erlaubt:
Umformungen einer Gleichung, bei denen die Lösungsmenge gleich bleibt, heißen Äquivalenzumformungen.
Aber welche Umformungen zählen eigentlich zu den Äquivalenzumformungen?
Umformungsregeln
Eine Seite der Gleichung umformen
Wir dürfen jede Seite der Gleichung durch Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, Kürzen, Erweitern und Zusammenfassen gleichartiger Glieder vereinfachen.
Ausmultiplizieren
$$\begin{align*} 2(x + 3) &= 4x &&{\color{gray}| \text{ Terme vereinfachen}} \\[5px] 2x + 6 &= 4x \end{align*} $$
Zusammenfassen gleichartiger Glieder
$$ \begin{align*} 3x - 1 + 2x &= 5 + x - 4 &&{\color{gray}| \text{ Terme vereinfachen}} \\[5px] 5x - 1 &= x + 1 \end{align*} $$
Beide Seiten der Gleichung umformen
Seiten vertauschen
Wir dürfen die beiden Seiten der Gleichung vertauschen.
Seiten vertauschen
$$ \begin{align*} 5x - 1 &= x + 1 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] x + 1 &= 5x - 1 \end{align*} $$
Term addieren
Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren.
Zahl addieren
$$ \begin{align*} x - 5 &= 3 &&{\color{gray}|\, +5} \\[5px] x - 5 {\color{gray}\,+\,5} &= 3 {\color{gray}\,+\,5} \\[5px] x &= 8 \end{align*} $$
Term subtrahieren
Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term subtrahieren.
Zahl subtrahieren
$$ \begin{align*} x + 5 &= 3 &&{\color{gray}|\, -5} \\[5px] x + 5 {\color{gray}\,-\,5} &= 3 {\color{gray}\,-\,5} \\[5px] x &= -2 \end{align*} $$
Mit Term ungleich Null multiplizieren
Wir dürfen beide Seiten der Gleichung mit demselben Term ($\neq 0$) multiplizieren.
Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf beiden Seiten um denselben Faktor vermehren.
Zahl multiplizieren
$$ \begin{align*} \frac{x + 2}{4} &= 3 &&{\color{gray}|\, \cdot 4} \\[5px] \frac{x + 2}{\cancel{4}} \cancel{{\color{gray}\,\cdot\,4}} &= 3 {\color{gray}\,\cdot\,4} &&{\color{gray}| \text{ Kürzen}} \\[5px] x + 2 &= 12 \end{align*} $$
Anmerkung
Eine Multiplikation mit Null ist keine Äquivalenzumformung.
(Eine Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit Null führt immer zu der allgemeingültigen Gleichung $0 = 0$.)
Durch Term ungleich Null dividieren
Wir dürfen beide Seiten der Gleichung durch denselben Term ($\neq 0$) dividieren.
Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir die Gewichte auf beiden Seiten auf denselben Bruchteil vermindern.
Zahl dividieren
$$ \begin{align*} 4(x + 2) &= 12 &&{\color{gray}|\, :4} \\[5px] \frac{\cancel{4}(x + 2)}{\cancel{{\color{gray}4}}} &= 12 {\color{gray}\,\,:4} &&{\color{gray}| \text{ Kürzen}} \\[5px] x + 2 &= 3 \end{align*} $$
Anmerkung
Eine Division durch Null ist keine Äquivalenzumformung.
(Eine Division durch Null ist in der Mathematik grundsätzlich nicht erlaubt!)
Gewinnumformungen und Verlustumformungen
Leider können wir mithilfe von Äquivalenzumformungen nicht alle Gleichungen lösen. Manchmal ist es notwendig, Umformungen durchzuführen, die die Lösungsmenge verändern: Wir unterscheiden danach, ob bei diesen Umformungen Lösungen dazukommen (Gewinnumformungen) oder wegfallen (Verlustumformungen).
