Satz vom Nullprodukt

In diesem Kapitel besprechen wir den Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Es gilt \(a \cdot b = 0\), wenn \(a = 0\) oder \(b = 0\).

Wann wird der Satz vom Nullprodukt eingesetzt?

  • Gleichungen lösen
  • Nullstellen berechnen

Wann darf man den Satz vom Nullprodukt einsetzen?

\(\checkmark\) auf der linken Seite der Gleichung stehen nur Faktoren
\(\checkmark\) auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Null

Beispiele

Darf man den Satz vom Nullprodukt anwenden?

\(x + 4 = 0\)
\(\rightarrow\) Nein, da auf der linken Seite eine Summe steht.

\(x \cdot 4 = 0\)
\(\rightarrow\) Ja!

\((x - 1) \cdot (x + 2) = 0\)
\(\rightarrow\) Ja!

\(x \cdot (x - 3) = 2\)
\(\rightarrow\) Nein, da auf der rechten Seite keine Null steht.

Satz vom Nullprodukt - Beispiele

Vorgehensweise

  1. Faktoren einzeln gleich Null setzen

Beispiel 1

\(x \cdot 4 = 0\)

Der Satz vom Nullprodukt besagt,
dass das Produkt \(x \cdot 4\) genau dann Null ist,
wenn einer der Faktoren Null ist.

Der 1. Faktor ist \(x\). Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x {\color{red}\:=0}\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = 0\) ist.

Der 2. Faktor ist \(4\). Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(4 {\color{red}\:=0}\) (Widerspruch!)
Der 2. Faktor kann nie Null werden.

\(\Rightarrow\) Die einzige Lösung der Gleichung \(x \cdot 4 = 0\) ist \(x_1 = 0\).

Beispiel 2

\((x - 1) \cdot (x + 2) = 0\)

Der Satz vom Nullprodukt besagt,
dass das Produkt \((x - 1) \cdot (x + 2)\) genau dann Null ist,
wenn einer der Faktoren Null ist.

Der 1. Faktor ist \((x - 1)\). Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x - 1 {\color{red}\:=0}\)
Nebenrechnung (> Äquivalenzumformung):
\(x - 1 = 0\)
\(x - 1 {\color{maroon}\:+\:1} = {\color{maroon}+1}\)
\(x = 1\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = 1\) ist.

Der 2. Faktor ist \((x + 2)\). Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x + 2 {\color{red}\:=0}\)
Nebenrechnung (> Äquivalenzumformung):
\(x + 2 = 0\)
\(x +2 {\color{maroon}\:-\:2} = {\color{maroon}-2}\)
\(x = -2\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = -2\) ist.

\(\Rightarrow\) Die Lösungen der Gleichung \((x - 1) \cdot (x + 2) = 0\) sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\).

Satz vom Nullprodukt - Faktorisieren

Den Satz vom Nullprodukt darf man nur anwenden, wenn auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt steht. Manchmal lässt sich jedoch eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt verwandeln, sodass anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendet werden kann.

Vorgehensweise

  1. Term faktorisieren
  2. Faktoren einzeln gleich Null setzen

Beispiel 1 (Faktorisieren durch Ausklammern)

\(7x - 7 = 0\)

1.) Term faktorisieren

\(7 \cdot (x - 1) = 0\)

2.) Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor: \(7 {\color{red}\:=0}\) (Widerspruch!)
Der 1. Faktor kann nie Null werden.

2. Faktor: \(x - 1 {\color{red}\:=0}\)
Nebenrechnung (> Äquivalenzumformung):
\(x - 1 = 0\)
\(x - 1 {\color{maroon}\:+\:1} = {\color{maroon}+1}\)
\(x = 1\)
Der 2. Faktor wird Null, wenn \(x = 1\) ist.

\(\Rightarrow\) Die einzige Lösung der Gleichung \(7x - 7 = 0\) ist \(x_1 = 1\).

Beispiel 2 (Faktorisieren durch binomische Formeln)

\(x^2 - 16 = 0\)

1.) Term faktorisieren

In diesem Fall wenden wir die 3. Binomische Formel an.

\((x+4) \cdot (x-4) = 0\)

2.) Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor: \(x + 4 {\color{red}\:=0}\)
Nebenrechnung (> Äquivalenzumformung):
\(x + 4 = 0\)
\(x + 4 {\color{maroon}\:-\:4} = {\color{maroon}-4}\)
\(x = -4\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = -4\) ist.

2. Faktor: \(x - 4 {\color{red}\:=0}\)
Nebenrechnung (> Äquivalenzumformung):
\(x - 4 = 0\)
\(x - 4 {\color{maroon}\:+\:4} = {\color{maroon}+4}\)
\(x = 4\)
Der 2. Faktor wird Null, wenn \(x = 4\) ist.

\(\Rightarrow\) Die Lösungen der Gleichung \(x^2 - 16 = 0\) sind \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass man mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt bestimmte Gleichungen (auf der linken Seite steht ein Produkt, auf der rechten Seite eine Null) sehr einfach lösen kann. Manchmal lässt sich durch Faktorisieren eine Summe oder Differenz in ein Produkt verwandeln, sodass anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendet werden kann.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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